Question

（本小題滿分13分）對于定義域為D的函數(shù)，若同時滿足下列條件：①在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間[]，使在[]上的值域為[]；那么把（）叫閉函數(shù)。

（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間[]；

（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；

（3）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？若是閉函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（1）[-1，1] （2）不是閉函數(shù)（3）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為在R上單調(diào)遞減，根據(jù)定義可知解方程就可以了.

（Ⅱ）f（x）不是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，不滿足閉函數(shù)的定義.

（Ⅲ） 是單調(diào)遞增函數(shù)，我們可以假設存在區(qū)間[a,b],使得解方程

在定義域內(nèi)有兩不同的根.

試題解析：（1）由題意，在[]上遞減，則解得

所以，所求的區(qū)間為[-1，1]

（2）取則，即不是上的減函數(shù)。

取，

即不是上的增函數(shù)

所以，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)。

（3）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[]，在區(qū)間[]上，函數(shù)的值域為[]，即，為方程的兩個實根，

即方程有兩個不等的實根。

當時，有，解得。當時，有，無解。

綜上所述，。

考點：新定義的應用，不等式