Question

已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且不在軸上，軸，垂足為，線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，過(guò)定點(diǎn)任作一條與軸不垂直的直線(xiàn)，它與曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)。
（I）求曲線(xiàn)的方程；
（II）試證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分

Answer 1

（1）    （2）見(jiàn)解析

第一問(wèn)中設(shè)為曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，
∴，曲線(xiàn)的方程為
第二問(wèn)中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的方程為，　　………………3分　 　
代入曲線(xiàn)的方程，可得　
∵，∴
確定結(jié)論直線(xiàn)與曲線(xiàn)總有兩個(gè)公共點(diǎn)．
然后設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，  
要使被軸平分，只要得到。
（1）設(shè)為曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，
∴，曲線(xiàn)的方程為．  ………………2分       
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的方程為，　　………………3分　 　
代入曲線(xiàn)的方程，可得　，……5分            
∵，∴，
∴直線(xiàn)與曲線(xiàn)總有兩個(gè)公共點(diǎn)．（也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）
………………6分
設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，   
要使被軸平分，只要，            ………………9分
即，，        ………………10分
也就是，，
即，即只要　 ………………12分　 
當(dāng)時(shí)，（＊）對(duì)任意的s都成立，從而總能被軸平分．
所以在x軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分