Question

已知關(guān)于x的不等式0≤x²-2x+m≤3（m∈R）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，函數(shù)f（x）=tx，g（x）=2tx²-2（m-t）x+1，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，f（x）與g（x）至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，0）
• B、（0，2）
• C、（2，8）
• D、（0，8）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：計(jì)算題,壓軸題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由關(guān)于x的不等式0≤x²-2x+m≤3（m∈R）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解求出m的值，代入函數(shù)化簡；當(dāng)t≤0時(shí)，顯然不成立；當(dāng)t＞0時(shí)，因?yàn)間（0）=1＞0，所以僅對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行討論即可．

解答： 解：∵y=x²-2x+m≥m-1，
又∵關(guān)于x的不等式0≤x²-2x+m≤3（m∈R）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
∴m-1=3，
∴m=4，
則g（x）=2tx²-2（4-t）x+1．
當(dāng)t≤0時(shí)，
當(dāng)x接近+∞時(shí)，函數(shù)g（x）=2tx²-2（4-t）x+1與f（x）=tx均為負(fù)值，
顯然不成立，
當(dāng)t=0時(shí)，因g（x）=-8x+1，f（x）=0，故不成立；
當(dāng)t＞0時(shí)，
若-

b

2a

=

4-t

2t

≥0，即0＜t≤4時(shí)，結(jié)論顯然成立；
若-

b

2a

=

4-t

2t

＜0時(shí)，只要△=4（4-t）²-8t=4（t-8）（t-2）＜0即可，即4＜t＜8，
故0＜t＜8．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)一元二次函數(shù)圖象的理解．對(duì)于一元二次不等式，一定要注意其開口方向、對(duì)稱軸和判別式．