Question

過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，斜率為

4

3

的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若

AF

=λ

FB

(λ＞1)，則λ的值為（　�。�

• A．5
• B．4
• C．

  4

  3

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

AF

=λ

FB

，利用向量相等可得λ=

-y1

y2

．設(shè)直線AB的方程為y=

4

3

(x-

p

2

)，與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而解出．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

AF

=λ

FB

得(

p

2

-x1，-y1)=λ(x2-

p

2

，y2)，故-y₁=λy₂，即λ=

-y1

y2

．
設(shè)直線AB的方程為y=

4

3

(x-

p

2

)，聯(lián)立

y= 4 3 (x- p 2 ) y2=2px

，消元得y2-

3

2

py-p2=0．
∴y1+y2=

3

2

p，y₁y₂=-p²，
∴

(y1+y2)2

y1y2

=

y1

y2

+

y2

y1

+2=-

9

4

，
即-λ-

1

λ

+2=-

9

4

．
又λ＞1，故λ=4．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．