Question

16．已知f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于直線x+y=0，求a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)f′（1）=-1，求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）結(jié)合（2）通過(guò)討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，得到故a的方程，解出即可．

解答 解（1）$f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{a}{x^2}$…（2分）
由題意可知f'（1）=1+a=-1，故a=-2…（3分）
（2）$f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{a}{x^2}=\frac{x+a}{x^2}$
當(dāng)a≥0時(shí)，因?yàn)閤＞0，∴f'（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)；…（5分）
當(dāng)a＜0時(shí)，由$f'（x）=\frac{x+a}{x^2}＞0，得x＞-a$；
由$f'（x）=\frac{x+a}{x^2}＜0，得0＜x＜-a$，
所以增區(qū)間為（-a，+∞），減區(qū)間為（0，-a），…（8分）
綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（0，-a），增區(qū)間為（-a，+∞）．…（9分）
（3）由（2）可知，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
故有$f（1）=-a=\frac{3}{2}$，所以$a=-\frac{3}{2}$不合題意，舍去．…（10分）
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（0，-a），增區(qū)間為（-a，+∞）．
若-a＞e，即a＜-e，則函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
則$f（e）=1-\frac{a}{e}=\frac{3}{2}$，∴$a=-\frac{e}{2}$不合題意，舍去．…（11分）
若-a＜1，即-1＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
$f（1）=-a=\frac{3}{2}$，所以$a=-\frac{3}{2}$不合題意，舍去．…（12分）
若$x=\frac{x（x+1）}{2}$時(shí)，x＞100，
解得$a=-\sqrt{e}$，
綜上所述，$a=-\sqrt{e}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．