Question

已知集合A={x∈R||x-1|+|x-2|≤3}
（Ⅰ）求A的解集；
（Ⅱ）若x∈A，求f（x）=

|2x+2|

+

|x-3|

的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,絕對(duì)值不等式的解法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式

分析：（Ⅰ）討論x的取值，去掉絕對(duì)值，解不等式|x-1|+|x-2|≤3，求出集合A；
（Ⅱ）由x∈A，設(shè)

3-x

=t，0≤t≤

3

，求出x，把函數(shù)f（x）化為g（t），利用導(dǎo)數(shù)求出g（t）的取值范圍，即得f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵不等式|x-1|+|x-2|≤3，
∴當(dāng)x≤1時(shí)，-（x-1）-（x-2）≤3，
解得x≥0，即0≤x≤1；
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，（x-1）-（x-2）≤3，
解得x∈R，即1＜x≤2；
當(dāng)x＞2時(shí)，（x-1）+（x-2）≤3，
解得x≤3，即2＜x≤3；
綜上，不等式的解集為{x|0≤x≤3}；
∴集合A={x|0≤x≤3}；
（Ⅱ）∵x∈A，
∴函數(shù)f（x）=

2x+2

+

3-x

；
設(shè)

3-x

=t，0≤t≤

3

，
則x=3-t²，∴

2x+2

=

8-2t2

；
∴函數(shù)f（x）可化為
g（t）=

8-2t2

+t，t∈[0，

3

]；
∴g′（t）=

1

2

×

-4t

8-2t2

+1，
令g′（t）=0，解得t=

2

3

，
∴g（

2

3

）=

8- 8 3

+

2

3

=2

3

；
又g（0）=2

2

，g（

3

）=

2

+

3

，
∴2

2

≤g（t）≤2

3

；
∴f（x）的值域?yàn)?span id="7zv79ff" class="MathJye">[2

2

，2

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含有絕對(duì)值的不等式的解法與應(yīng)用以及求函數(shù)的值域問題，解題時(shí)應(yīng)去掉絕對(duì)值符號(hào)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，從而求出值域，是中檔題．