(I)已知函數(shù)f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),其中r為有理數(shù),且0<r<1.求f(x)的最小值;
(II)試用(I)的結(jié)果證明如下命題:設(shè)a1≥0,a2≥0,b1,b2為正有理數(shù),若b1+b2=1,則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2
(III)請將(II)中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.注:當α為正有理數(shù)時,有求道公式(xαr=αxα-1
【答案】分析:(I)求導(dǎo)函數(shù),令f′(x)=0,解得x=1;確定函數(shù)在(0,1)上是減函數(shù);在(0,1)上是增函數(shù),從而可求f(x)的最小值;
(II)由(I)知,x∈(0,+∞)時,有f(x)≥f(1)=0,即xr≤rx+(1-r),分類討論:若a1,a2中有一個為0,則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立;若a1,a2均不為0,,可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立
(III)(II)中的命題推廣到一般形式為:設(shè)a1≥0,a2≥0,…,an≥0,b1,b2,…,bn為正有理數(shù),若b1+b2+…+bn=1,則a1b1a2b2…anbn≤a1b1+a2b2+…anbn
用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當n=1時,b1=1,a1≤a1,推廣命題成立;(2)假設(shè)當n=k時,推廣命題成立,證明當n=k+1時,利用a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=(a1b1a2b2…akbk)ak+1bk+1=ak+1bk+1,結(jié)合歸納假設(shè),即可得到結(jié)論.
解答:(I)解:求導(dǎo)函數(shù)可得:f′(x)=r(1-xr-1),令f′(x)=0,解得x=1;
當0<x<1時,f′(x)<0,所以f(x)在(0,1)上是減函數(shù);
當x>1時,f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù)
所以f(x)在x=1處取得最小值f(1)=0;
(II)解:由(I)知,x∈(0,+∞)時,有f(x)≥f(1)=0,即xr≤rx+(1-r)①
若a1,a2中有一個為0,則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立;
若a1,a2均不為0,∵b1+b2=1,∴b2=1-b1,
∴①中令,可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立
綜上,對a1≥0,a2≥0,b1,b2為正有理數(shù),若b1+b2=1,則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2;②
(III)解:(II)中的命題推廣到一般形式為:設(shè)a1≥0,a2≥0,…,an≥0,b1,b2,…,bn為正有理數(shù),若b1+b2+…+bn=1,則a1b1a2b2…anbn≤a1b1+a2b2+…anbn;③
用數(shù)學(xué)歸納法證明
(1)當n=1時,b1=1,a1≤a1,③成立
(2)假設(shè)當n=k時,③成立,即a1≥0,a2≥0,…,ak≥0,b1,b2,…,bk為正有理數(shù),若b1+b2+…+bk=1,則a1b1a2b2…akbk≤a1b1+a2b2+…akbk
當n=k+1時,a1≥0,a2≥0,…,ak+1≥0,b1,b2,…,bk+1為正有理數(shù),若b1+b2+…+bk+1=1,則1-bk+1>0
于是a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=(a1b1a2b2…akbk)ak+1bk+1=ak+1bk+1
++…+=1
++…+
=
ak+1bk+1•(1-bk+1)+ak+1bk+1,
∴a1b1a2b2…akbkak+1bk+1≤a1b1+a2b2+…akbk+ak+1bk+1
∴當n=k+1時,③成立
由(1)(2)可知,對一切正整數(shù),推廣的命題成立.
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查不等式的證明,考查數(shù)學(xué)歸納法,解題的關(guān)鍵是分類討論,正確運用已證得的結(jié)論,掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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(2009•大連二模)(I)已知函數(shù)f(x)=x-
1
x
,x∈(
1
4
,
1
2
),P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))是f(x)
圖象上的任意兩點,且x1<x2
①求直線PQ的斜率kPQ的取值范圍及f(x)圖象上任一點切線的斜率k的取值范圍;
②由①你得到的結(jié)論是:若函數(shù)f(x)在[a,b]上有導(dǎo)函數(shù)f′(x),且f(a)、f(b)存在,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f′(ξ)=
f(b)-f(a)
b-a
f(b)-f(a)
b-a
成立(用a,b,f(a),f(b)表示,只寫出結(jié)論,不必證明)
(II)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)為g′(x),且g′(x)為單調(diào)遞減函數(shù),g(0)=0.試運用你在②中得到的結(jié)論證明:
當x∈(0,1)時,f(1)x<g(x).

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(I)求函數(shù)f(x)的解析式;
(II)設(shè)F(x)=xf(x),求曲線F(x)在x=1處的切線方程.

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