Question

（2012•包頭三模）設函數f（x）=xe^x，g（x）=ax²+x
（I）若f（x）與g（x）具有完全相同的單調區(qū)間，求a的值；
（Ⅱ）若當x≥0時恒有f（x）≥g（x），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求f（x）的導數，可得單調區(qū)間，由極值點可得a值，可驗證符合題意；
（Ⅱ）可轉化為f（x）-g（x）=x（e^x-ax-1）≥0恒成立，令F（x）=e^x-ax-1，可得導數F′（x）=e^x-a，對a進行分類討論可得結論．

解答：解：（I）∵f（x）=xe^x，∴f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，…（2分）
當x＜-1時，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）內單調遞減；
當x＞-1時，f′（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）內單調遞增…（4分）
又g′（x）=2ax+1，由g′（-1）=-2a+1=0，得a=

1

2

，
此時g（x）=

1

2

x²+x=

1

2

(x+1)2-

1

2

，
顯然g（x）在（-∞，-1）內單調遞減，在（-1，+∞）內單調遞增，故a=

1

2

．…（6分）
（II）當x≥0時恒有f（x）≥g（x），即f（x）-g（x）=x（e^x-ax-1）≥0恒成立．…（7分）
故只需F（x）=e^x-ax-1≥0恒成立，
對F（x）求導數可得F′（x）=e^x-a．…（8分）
∵x≥0，∴F′（x）=e^x-a，
若a≤1，則當x∈（0，+∞）時，F′（x）＞0，F（x）為增函數，
從而當x≥0時，F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥g（x）；…（10分）
若a＞1，則當x∈（0，lna）時，F′（x）＜0，F（x）為減函數，
從而當x∈（0，lna）時，F（x）＜F（0）=0，即f（x）＜g（x），故f（x）≥g（x）不恒成立．
故a的取值范圍為：a≤1----（12分）

點評：本題考查函數和導數的綜合應用，涉及恒成立問題和分類討論的思想，屬中檔題．