Question

已知f（x）=e^x+

3

4

cosx，g（x）=

1

4

x，若存在x₁，x₂∈[0，+∞）使f（x₁）=g（x₂）成立，則x₂-x₁的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由已知可得x2-x1=4ex1+3cosx1-x1，令h(x1)=4ex1+3cosx1-x1，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h（x₁）在x₁∈[0，+∞）的最小值，求導(dǎo)數(shù)可判函數(shù)單調(diào)遞增，易得結(jié)論．

解答： 解：∵存在x₁，x₂∈[0，+∞）使f（x₁）=g（x₂）成立，
∴ex1+

3

4

cosx1=

1

4

x2，∴x2=4ex1+3cosx1，
∴x2-x1=4ex1+3cosx1-x1，
令h(x1)=4ex1+3cosx1-x1，
原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h（x₁）在x₁∈[0，+∞）的最小值．
∵h′(x)=4ex1-3sinx1-1，x₁≥0，
∴4ex1≥4，3sinx₁+1≤4，∴h′（x₁）≥0，
∴h（x₁）在x₁∈[0，+∞）是單調(diào)增函數(shù)，
∴h（x₁）≥h（0）=7
∴h（x₁）在x₁∈[0，+∞）的最小值是7．
故答案為：7

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，將最小值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．