Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx（a，b，c∈R）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值-

2

3

．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）圖象上任意兩點(diǎn)，且x₁，x₂∈[-1，1]．求證：過A點(diǎn)的切線不可能與過B點(diǎn)的切線垂直；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]，且|f（x₁）-f（x₂）|=λ|x₁-x₂|，求證：λ∈[0，1]．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx（a，b，c∈R）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到函數(shù)為奇函數(shù)，所以f（-x）=-（x），當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值-

2

3

，所以f′（1）=0，f（1）=-

2

3

，由這三個(gè)等式可解出a，b，c的值．
（Ⅱ）用反證法證明．先假設(shè)假設(shè)過A點(diǎn)的切線與過B點(diǎn)的切線垂直，根據(jù)兩直線垂直，斜率之際等于-1，得到關(guān)于x₁，x₂的等式，再根據(jù)x₁，x₂的取值范圍證明所得的等式不成立即可．
（Ⅲ）因?yàn)閨f（x₁）-f（x₂）|=λ|x₁-x₂|，∴λ=

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

再根據(jù)x₁，x₂的范圍求

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

的范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²-4bx+c，
∵函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx（a，b，c∈R）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（-x）=-ax³-2bx^2-cx=f（x），∴b=0
∵當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值-

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3

．∴f′（1）=3a-4b+c=0，
f（1）=a-2b+c=-

2

3

∴a=

1

3

，b=0，c=-1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=

1

3

x³-x，f′（x）=x²-1
證明：假設(shè)過A點(diǎn)的切線與過B點(diǎn)的切線垂直．
則f'（x₁）•f'（x₂）=-1
∴（x₁²-1）（x₂²-1）=-1
∵x₁，x₂∈[-1，1]所以x₁²-1，x₂²-1∈[-1，0]
∴（x₁²-1）（x₂²-1）∈[0，1]，
∴假設(shè)不成立．
∴過A點(diǎn)的切線不可能與過B點(diǎn)的切線垂直．
（Ⅲ）∵|f（x₁）-f（x₂）|=λ|x₁-x₂|，∴λ=

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

=

|( 1 3 x13-x 1)-( 1 3 x23-x2)|

|x1-x2|

=|

1

3

(x12+x1x2+x22)-1|=|

1

3

(x1+x2)2+

1

4

x22-1|
∵|x₁，x₂∈[-1，1]，∴

1

3

（x₁+x₂）²∈[0，

3

4

]

1

4

x₁x₂∈[0，

1

4

]，∴|

1

3

(x1+x2)2+

1

4

x22-1|∈[0，1]
 即 λ∈[0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及函數(shù)的值域的方法．解題時(shí)要學(xué)會(huì)運(yùn)用反證法證明命題，熟練掌握轉(zhuǎn)化化歸的思想方法．