Question

5．4個半徑為1的球兩兩相切，該幾何體的外切正四面體的高是4+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 把球的球心連接，則又可得到一個棱長為2的小正四面體，正四面體的中心到底面的距離是高的$\frac{1}{4}$，且小正四面體的中心和正四面體容器的中心應(yīng)該是重合的，先求出小正四面體的中心到底面的距離，再求出正四面體的中心到底面的距離，把此距離乘以4可得正四棱錐的高．

解答 解：由題意知，底面放三個球，上再落一個球．
于是把球的球心連接，則又可得到一個棱長為2的小正四面體，則不難求出這個小正四面體的高為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
且由正四面體的性質(zhì)可知：正四面體的中心到底面的距離是高的$\frac{1}{4}$，且小正四面體的中心和正四面體容器的中心應(yīng)該是重合的，
∴小正四面體的中心到底面的距離是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，正四面體的中心到底面的距離是$\frac{\sqrt{6}}{6}$+1，
所以可知正四面體的高的最小值為（$\frac{\sqrt{6}}{6}$+1）×4=4+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
故答案為：4+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 小正四面體是由球心構(gòu)成的，正四面體的中心到底面的距離等于小正四面體的中心到底面的距離再加上小球的半徑．