Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，且a₂²=a₁a₅
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得S_n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出數(shù)列的公差，利用a₂²=a₁a₅建立等式求得d，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可得．
（2）利用（1）中數(shù)列的通項(xiàng)公式，表示出S_n根據(jù)S_n＞60n+800，解不等式根據(jù)不等式的解集來判斷．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，依題意，2，2+d，2+4d成等比數(shù)列，故有（2+d）²=2（2+4d），
化簡(jiǎn)得d²-4d=0，
解得d=0或d=4．
當(dāng)d=0時(shí)，a_n=2；
當(dāng)d=4時(shí)，a_n=2+（n-1）•4=4n-2，
從而得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2或a_n=4a-2．
（2）當(dāng)a_n=2時(shí)，S_n=2n．顯然2n＜60n+800，
此時(shí)不存在正整數(shù)n，使得S_n＞60n+800成立．
當(dāng)a_n=4n-2時(shí)，S_n=$\frac{n[2+（4n-2）]}{2}$=2n²．
令2n²＞60n+800，
即n²-30n-400＞0，
解得n＞40或n＜-10（舍去），
此時(shí)存在正整數(shù)n，使得S_n＞60n+800成立，n的最小值為41．
綜上，當(dāng)a_n=2時(shí)，不存在滿足題意的n；
當(dāng)a_n=4n-2時(shí)，存在滿足題意的n，其最小值為41．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．要求學(xué)生對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式熟練記憶．