Question

規(guī)定

C

m x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

，其中x∈R，m是正整數(shù)，且

C

0 x

=1，這是組合數(shù)

C

m n

（n、m是正整數(shù)，且m≤n）的一種推廣．
（1）求

C

3 -15

的值；
（2）設(shè)x＞0，當(dāng)x為何值時(shí)，

C 3 x

( C 1 x )2

取得最小值？
（3）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)；①

C

m n

=

C

n-m n

；②

C

m n

+

C

m-1 n

=

C

m n+1

．是否都能推廣到

C

m x

（x∈R，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

C

3 -15

=

(-15)(-16)(-17)

3!

，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）根據(jù)

C 3 x

( C 1 x )2

=

x(x-1)(x-2)

6x2

=

1

6

(x+

2

x

-3)，再利用基本不等式求得獅子的最小值．
（3）性質(zhì)①不能推廣，通過舉反例可知．性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是

C

m x

+

C

m-1 x

=

C

m x+1

，x∈R，m是正整數(shù)．
根據(jù)題中的規(guī)定化簡(jiǎn)運(yùn)算可以證得．

解答：解：（1）由題意可得

C

3 -15

=

(-15)(-16)(-17)

3!

=-680．（4分）
（2）

C 3 x

( C 1 x )2

=

x(x-1)(x-2)

6x2

=

1

6

(x+

2

x

-3)．（6分）
∵x＞0，故有 x+

2

x

≥2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

時(shí)，等號(hào)成立．∴當(dāng)x=

2

時(shí)，

C 3 x

( C 1 x )2

取得最小值．（8分）
（3）性質(zhì)①不能推廣，例如當(dāng)x=

2

時(shí)，

C

1 2

有定義，但

C

2 -1 2

無(wú)意義； （10分）
性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是

C

m x

+

C

m-1 x

=

C

m x+1

，x∈R，m是正整數(shù)．（12分）
事實(shí)上，當(dāng)m=1時(shí)，有

C

1 x

+

C

0 x

=x+1=

C

1 x+1

．
當(dāng)m≥2時(shí).

C

m x

+

C

m-1 x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

+

x(x-1)…(x-m-2)

(m-1)!

=

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

[

x-m+1

m

+1]=

x(x-1)…(x-m+2)(x+1)

m !

=

C

m x+1

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查組合數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，這是一道綜合性較強(qiáng)的題目，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力、推理論證
能力以及計(jì)算能力，均有較好的考查．在課本基本題型（組合數(shù)的性質(zhì)）的基礎(chǔ)上有拓廣創(chuàng)新，屬于中檔題．