Question

設(shè)f(x)＝ln(x²＋1)，g(x)＝x²－.
(1)求F(x)＝f(x)－g(x)的單調(diào)區(qū)間，并證明對[－1，1]上的任意x₁，x₂，x₃，都有F(x₁)＋F(x₂)>F(x₃)；
(2)將y＝f(x)的圖像向下平移a(a>0)個單位，同時將y＝g(x)的圖像向上平移b(b>0)個單位，使它們恰有四個交點，求的取值范圍．

Answer 1

（1）在(－∞，－1)和(0，1)上單調(diào)遞增，在(－1，0)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，證明見解析（2）<<1＋ln 2

(1)F(x)＝ln(x²＋1)－x²－，
F′(x)＝.
F′(x)，F(xiàn)(x)的值隨x值的變化如下表：

x	(－∞，－1)	(－1，0)	(0，1)	(1，＋∞)
F′(x)	＋	－	＋	－
F(x)	↗	↘	↗	↘

故F(x)在(－∞，－1)和(0，1)上單調(diào)遞增，在(－1，0)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在[－1，1]上F(x)的最小值F(x)_min＝F(0)＝.
F(x)的最大值F(x)_max＝F(1)＝F(－1)＝ln 2.
因此F(x₁)＋F(x₂)≥2F(x)_min＝1，
而F(x₃)≤F(x)_max＝ln 2，
故F(x₁)＋F(x₂)>F(x₃)．
(2)由題意可知y＝ln(x²＋1)－a與y＝x²－＋b的圖像恰有四個交點．
由ln(x²＋1)－a＝x²－＋b，
則a＋b＝ln(x²＋1)－x²＋.
令F(x)＝ln(x²＋1)－x²＋，
由(1)可知F(x)_極小值＝F(0)＝，F(xiàn)(x)_極大值＝F(1)＝ln 2.又F(4)＝F(－4)<0<F(0)，所以F(x)的大致圖像如圖所示，

圖(1)
要使y＝a＋b與y＝F(x)恰有四個交點，則<a＋b<ln 2.
由
得到(b，a)的可行域為如圖(2)所示的陰影部分．

圖(2)
又可視為點P(－1，－1)與可行域內(nèi)的點連線的斜率，
故<<1＋ln 2.