Question

3．在直角坐標(biāo)系下，直線l過點(diǎn)P（1，1），傾斜角α=$\frac{π}{4}$，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以Χ軸非負(fù)半軸為極軸，取相同長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（1）寫出l的參數(shù)方程和C的直角坐標(biāo)方程
（2）設(shè)l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由直線l過點(diǎn)P（1，1），傾斜角α=$\frac{π}{4}$，可得：直線l的參數(shù)方程．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得：t²-2=0，可得$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$．

解答 解：（1）由直線l過點(diǎn)P（1，1），傾斜角α=$\frac{π}{4}$，
可得：直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4x．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得：t²-2=0，
∴t=$±\sqrt{2}$，t₁=-t₂=$-\sqrt{2}$．
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．