Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn=(

1

3

)n-c，正數(shù)數(shù)列{b_n}的首項為c，且滿足：bn+1=

bn

1+2bn

(n∈N*)．記數(shù)列{b_nb_n+1}前n項和為T_n．
（Ⅰ）求c的值； 
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)Sn求出a₁，a₂，a₃，根據(jù){a_n}為等比數(shù)列，確定出c的值．
（Ⅱ）根據(jù)bn+1=

bn

1+2bn

(n∈N*)，得到bn與bn+1的遞推關(guān)系，根據(jù)特殊的數(shù)列求通項．
（Ⅲ）先求出Tn，假設(shè)滿足T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，得到n與m的關(guān)系式，再根據(jù)1＜m＜n，求出m，n的范圍，根據(jù)m，n是正整數(shù)，求出m，n的值．

解答：解：（Ⅰ）a1=

1

3

-c，a2=(

1

3

)2-

1

3

=-

2

9

，a3=(

1

3

)3-(

1

3

)2=-

2

27

（3分）
因為{a_n}為等比數(shù)列所以a₂²=a₁a₃，得c=1（4分）
經(jīng)檢驗此時{a_n}為等比數(shù)列．（5分）
（Ⅱ）∵bn+1=

bn

1+2bn

(n∈N*)
∴

1

bn+1

=

1

bn

+2(n∈N*)
數(shù)列{

1

bn

}為等差數(shù)列   （7分）
又S₁=b₁=c=1，所以

1

bn+1

=

1

b1

+(n-1)×2=2n-1(n∈N*)
所以bn=

1

2n-1

（n∈N^*）（10分）
（Ⅲ）Tn=

1

2

(

1

b1

-

1

b2

+

1

b2

-

1

b3

+…+

1

bn

-

1

bn+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

（12分）
假設(shè)存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列
則

1

3

×

n

2n+1

=(

m

2m+1

)2，所以n=

3m2

-2m2+4m+1

由n＞m＞1得

3m2

-2m2+4m+1

＞m且-2m²+4m+1＞0
即

2m2-m-1＞0 2m2-4m-1＜0

，所以

m＞1或m＜- 1 2 1- 6 2 ＜m＜1+ 6 2

因為m為正整數(shù)，所以m=2，此時n=12
所以滿足題意的正整數(shù)存在，m=2，n=12．（15分）

點評：熟練掌握并靈活運用等差等比數(shù)列的通項公式以及求和公式是解決此題的關(guān)鍵．