【題目】已知橢圓C: (a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三點在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點.
【答案】(1).(2)見解析。
【解析】試題分析:(1)根據(jù), 兩點關于y軸對稱,由橢圓的對稱性可知C經(jīng)過, 兩點.另外由知,C不經(jīng)過點P1,所以點P2在C上.因此在橢圓上,代入其標準方程,即可求出C的方程;(2)先設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2,再設直線l的方程,當l與x軸垂直時,通過計算,不滿足題意,再設l: (),將代入,寫出判別式,利用根與系數(shù)的關系表示出x1+x2,x1x2,進而表示出,根據(jù)列出等式表示出和的關系,從而判斷出直線恒過定點.
試題解析:(1)由于, 兩點關于y軸對稱,故由題設知C經(jīng)過, 兩點.
又由知,C不經(jīng)過點P1,所以點P2在C上.
因此,解得.
故C的方程為.
(2)設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2,
如果l與x軸垂直,設l:x=t,由題設知,且,可得A,B的坐標分別為(t, ),(t, ).
則,得,不符合題設.
從而可設l: ().將代入得
由題設可知.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=.
而
.
由題設,故.
即.
解得.
當且僅當時, ,欲使l: ,即,
所以l過定點(2, )
點睛:橢圓的對稱性是橢圓的一個重要性質,判斷點是否在橢圓上,可以通過這一方法進行判斷;證明直線過定點的關鍵是設出直線方程,通過一定關系轉化,找出兩個參數(shù)之間的關系式,從而可以判斷過定點情況.另外,在設直線方程之前,若題設中未告知,則一定要討論直線斜率不存在和存在兩種情況,其通法是聯(lián)立方程,求判別式,利用根與系數(shù)的關系,再根據(jù)題設關系進行化簡.
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【題目】下列函數(shù)中,在其定義域內既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是( )
A.y=x3 , x∈R
B.y=sinx,x∈R
C.y=﹣x,x∈R
D.y=( )x , x∈R
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【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,左頂點為A,左焦點為F1(﹣2,0),點B(2, )在橢圓C上,直線y=kx(k≠0)與橢圓C交于E,F(xiàn)兩點,直線AE,AF分別與y軸交于點M,N
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)在x軸上是否存在點P,使得無論非零實數(shù)k怎樣變化,總有∠MPN為直角?若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
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【題目】某公司計劃在今年內同時出售變頻空調機和智能洗衣機,由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大,有多少就能銷售多少,因此該公司要根據(jù)實際情況(如資金、勞動力)確定產(chǎn)品的月供應量,以使得總利潤達到最大.已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力,通過調查,得到關于這兩種產(chǎn)品的有關數(shù)據(jù)如表:
試問:怎樣確定兩種貨物的月供應量,才能使總利潤達到最大,最大利潤是多少?
資金 | 單位產(chǎn)品所需資金(百元) | ||
空調機 | 洗衣機 | 月資金供應量(百元) | |
成本 | 30 | 20 | 300 |
勞動力(工資) | 5 | 10 | 110 |
單位利潤 | 6 | 8 |
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【題目】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)在一個周期內的圖象如圖,此函數(shù)的解析式為( )
A.y=2sin(2x+ )
B.y=2sin(2x+ )
C.y=2sin( ﹣ )
D.y=2sin(2x﹣ )
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【題目】在三棱錐S﹣ABC中,AB⊥BC,AB=BC= ,SA=SC=2,二面角S﹣AC﹣B的余弦值是 ,若S、A、B、C都在同一球面上,則該球的表面積是 .
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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【題目】已知向量 =( ,cos ), =(cos ,1),且f(x)= .
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣π,π]上的最大值和最小值及取得最值時x的值.
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【題目】如圖,四邊形為菱形, , 與相交于點, 平面, 平面, , 為中點.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)當直線與平面所成角為時,求異面直線與所成角的余弦值.
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