Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

a

x

（a＞0），設(shè)F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=g（

2a

x2+1

）+m-1的圖象與函數(shù)y=f（1+x²）的圖象恰有四個不同的交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別把f（x）和g（x）的解析式代入F（x）中，求出F′（x）=0時x的值為a及函數(shù)的定義域?yàn)閤大于0，令導(dǎo)函數(shù)大于0解出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的值即為函數(shù)的間區(qū)間；
（II）分別把

2a

x2+1

代入g（x），把1+x²代入到f（x）中，要使兩個函數(shù)圖象有四個不同的交點(diǎn)，即讓y相等得到的方程m=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

有四個解，可設(shè)G（x）=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

，求出G′（x）=0時x的值，利用x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的增減性求出函數(shù)的最大值G（1）和最小值G（0），然后求出G（2）和G（-2）相等且都小于G（0），所以m屬于（G（0），G（1））時方程恰有四個解，求出m的范圍即可．

解答：解：（I）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+

a

x

（a＞0），
F′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0）．
∵a＞0，由F′（x）＞0⇒x∈（a，+∞），∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
由F′（x）＜0⇒x∈（0，a），∴F（x）在（0，a）上單調(diào)遞減．
∴F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞）

（II）若y=g（

2a

x2+1

）+m-1=

1

2

x²+m-

1

2

的圖象與y=f（1+x²）=ln（x²+1）的圖象恰有四個不同得交點(diǎn)，
即有四個不同的根，亦即m=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

有四個不同的根．
令G（x）=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

，則G′（x）=

2x

x2+1

-x=

2x-x3-x

x2+1

=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

當(dāng)x變化時，G′（x）、G（x）的變化情況如下表：

由表格知：G（x）_最小值=G（0）=

1

2

，G（x）_{（最大值）}=G（1）=G（-1）=ln2＞0．
畫出草圖和驗(yàn)證G（2）=G（-2）=ln5-2+

1

2

＜

1

2

可知，當(dāng)m∈（

1

2

，ln2）時，y=G（x）與y=m恰有四個不同的交點(diǎn)．
∴當(dāng)m∈（

1

2

，ln2）時，y=g（

2a

x2+1

）+m-1=

1

2

x²+m-

1

2

的圖象與y=f（1+x²）=ln（x²+1）的圖象恰有四個不同的交點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題要求學(xué)生會利用x的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及會根據(jù)函數(shù)的增減性求出函數(shù)的最值，是一道中檔題．