Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值，若不存在，則說(shuō)明理由；
（3）設(shè){b_n}滿(mǎn)足：為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上
∴2a_n+1+S_n-2=0即S_n=2-2a_n+1
∴當(dāng)n≥2時(shí)S_n-1=2-2a_n相減得
a_n=2a_n+1又
∴
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ符合題意，則必為與n無(wú)關(guān)的常數(shù)
要使上式與n無(wú)關(guān)，則2-λ=0得λ=2
故存在實(shí)數(shù)λ=2，使數(shù)列為等差數(shù)列
（3）∵==
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=
=
易得是關(guān)于正整數(shù)n的增函數(shù)
故T_n的最小值為
即對(duì)一切n∈N^*，都有
分析：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程得到數(shù)列的項(xiàng)與和的遞推關(guān)系，仿寫(xiě)一個(gè)等式，兩式相減，得到一等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求出數(shù)列的第n項(xiàng)減去數(shù)列的第n-1項(xiàng)，為使此差為常數(shù)，令2-λ=0，求出λ的值．
（3）求出通項(xiàng)b_n，據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n，利用其單調(diào)性，求出其最小值，得到要證的不等式．
點(diǎn)評(píng)：在已知數(shù)列的項(xiàng)與和的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，常采用的方法是仿寫(xiě)相減得到項(xiàng)與項(xiàng)的遞推關(guān)系，再求通項(xiàng)．