Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形， ，側(cè)面底面， ， ， 分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）如果直線(xiàn)與平面所成的角和直線(xiàn)與平面所成的角相等，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】試題分析:（Ⅰ）線(xiàn)面垂直的證明，往往利用線(xiàn)面垂直判定定理，即從線(xiàn)線(xiàn)垂直出發(fā)給予證明，而線(xiàn)線(xiàn)垂直的尋找與論證，一般從兩個(gè)方面，一是利用平幾知識(shí)，如本題經(jīng)解三角形可得，再根據(jù)中點(diǎn)條件得平行條件，從而可得．二是利用線(xiàn)面位置關(guān)系有關(guān)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如本題利用面面垂直的性質(zhì)定理可得線(xiàn)面垂直，再根據(jù)線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理可得線(xiàn)線(xiàn)垂直.（Ⅱ）解決有關(guān)線(xiàn)面角的問(wèn)題，一般利用空間向量數(shù)量積進(jìn)行處理比較方便，先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出面的法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積求出直線(xiàn)向量與法向量夾角余弦值，最后根據(jù)線(xiàn)面角與向量夾角之間關(guān)系列等量關(guān)系，求出比值.

試題解析：

（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，因?yàn)?/span>， ，

所以．由分別為的中點(diǎn)，得，

所以．

因?yàn)閭?cè)面底面，且，所以底面．

又因?yàn)?/span>底面，所以．

又因?yàn)?/span>， 平面， 平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：因?yàn)?/span>底面， ，所以兩兩垂直，

以分別為、、，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

所以， ， ，

設(shè)，則，

所以， ，易得平面的法向量．

設(shè)平面的法向量為，由， ，得

令， 得．

因?yàn)橹本�(xiàn)與平面所成的角和此直線(xiàn)與平面所成的角相等，

所以，即，所以 ，

解得，或（舍）． 綜上所得：