Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，證明:；

（3）求證：對任意的，都有：，(其中為自然對數(shù)的底數(shù))。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）分別在和兩段范圍內(nèi)討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到單調(diào)區(qū)間；（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明，通過導(dǎo)數(shù)求得，從而證得所證不等式；（3）根據(jù)（2）可知，令，則可得，再通過進(jìn)行放縮，證得，從而得到所證結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域為，

①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增

②當(dāng)時，令，解得：

當(dāng)時，， 所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增

綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

（2）當(dāng)時，

要證明，即證，即

設(shè)則，令得，

當(dāng)時，，當(dāng)時，

所以為極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn)

所以，即

故

（3）由（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）

令， 則

所以

即

所以