已知函數(shù)f(x)=cos2x+sin2x
(1)求f(x)的最大值和最小正周期;
(2)設α,β∈[0,
π
2
]
,f(
α
2
+
π
8
)=
5
2
,f(
β
2
)=
2
,求sin(α+β)的值.
分析:(1)函數(shù)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù),由正弦函數(shù)的值域確定出函數(shù)f(x)的最大值,找出ω的值,代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期;
(2)由(1)化簡的f(x)解析式及已知的第一個等式,得到sinα的值,由α的范圍,利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出cosα的值,再由已知的第二個等式,求出β的度數(shù),代入所求式子中利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡,把各自的值代入即可求出值.
解答:解:(1)∵f(x)=cos2x+sin2x=
2
2
2
cos2x+
2
2
sin2x)=
2
sin(2x+
π
4
),
∵-1≤sin(2x+
π
4
)≤1,
∴f(x)的最大值為
2

∵ω=2,
∴周期T=
2
=π;
(2)∵f(
α
2
+
π
8
)=
2
sin[2(
α
2
+
π
8
)+
π
4
]=
2
sin(α+
π
2
)=
2
cosα=
5
2
,
∴cosα=
10
4

又α∈[0,
π
2
],∴sinα=
1-cos2α
=
6
4
,
∵f(
β
2
+π)=
2
sin[2(
β
2
+π)+
π
4
]=
2
sin(β+
π
4
+2π)=
2
sin(β+
π
4
)=
2
,
∴sin(β+
π
4
)=1,
∵β∈[0,
π
2
],∴β+
π
4
∈[
π
4
,
4
],
∴β+
π
4
=
π
2
,即β=
π
4

則sin(α+β)=sin(α+
π
4
)=sinαcos
π
4
+cosαsin
π
4
=
3
+
5
4
點評:此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關系,正弦函數(shù)的定義域與值域,誘導公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握公式是解本題的關鍵.
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已知函數(shù)f(x)=
|x+
1
x
|,x≠0
0     x=0
,則關于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有5個不同實數(shù)解的充要條件是(  )
A、b<-2且c>0
B、b>-2且c<0
C、b<-2且c=0
D、b≥-2且c=0

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已知函數(shù)f(x)=
3
sinxcosx-cos2x-
1
2
,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期;
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1
4
x+
3
4x
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(4,+∞)
(4,+∞)

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