已知f(n)=(2n+7)·3n+9，是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N+,都能使m整除f(n),如果存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由.

思路分析：因?yàn)閒(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36, …,所以f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，f(1)=36,能被36整除；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，f(k)能被36整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，f(k+1)=［2(k+1)+7］·3k+1+9

=3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1),

由歸納假設(shè)3［(2k+7)·3k+9］能被36整除，而3k-1-1是偶數(shù)，

所以18（3k-1-1）能被36整除，

所以f(k+1)能被36整除.

    由（1）（2），得f(n)能被36整除，由于f(1)=36，故能整除f(n)的最大整數(shù)是36.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N,都能使m整除f(n)，求m的最大值。

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已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為(    )

A、30           B、 26              C、 36          D、 6

 

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已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N*，都能使m整除f(n)，求最大的m的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆安徽省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意正整數(shù)n,都能使m整除f(n)，猜測(cè)出最大的m的值。并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜測(cè)是正確的。

【解析】本試題主要考查了歸納猜想的運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)歸納法的證明。

∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除

然后證明n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1?－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2?(k≥2)  證明得到。解析  ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 

證明  n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1?－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2?(k≥2)  f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36

 

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