Question

已知函數(shù)f（x）=

ex-ax2

1+x

．
（1）若a=0，討論f（x）的單調(diào)性．
（2）若f（x）有三個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范圍；
②求證：x₁+x₂+x₃＞-2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)，根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系求出單調(diào)區(qū)間，
（2）①先求導(dǎo)，f′（0）=0，令g（x）=e^x-a（x+2），再求導(dǎo)，判斷根的范圍
②利用分析法進(jìn)行求證，要證：x₁+x₂+x₃＞-2．只要證：x₁+x₂＞-2，只要證ex2-e-2-x2-2a(x2+1)＜0，轉(zhuǎn)化為只要證x2ex2+(x2+2)e-x2-2＞0，
求導(dǎo)，判斷增減性，問(wèn)題得以證明．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=

ex

1+x

，x≠-1，
∴f′(x)=

xex

(1+x)2

，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，x在（-∞，-1）和（-1，0）上，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，x在（0，+∞）上，f（x）單調(diào)遞增，
（2）①∵f（x）=

ex-ax2

1+x

，
∴f′（x）=

x[ex-a(x+2)]

(1+x)2

首先f(wàn)′（0）=0，令g（x）=e^x-a（x+2），則g（x）=0應(yīng)有兩個(gè)既不等于0也不等于-1的根，
求導(dǎo)可得，g′（x）=e^x-a，
此時(shí)，g′（x）=e^x-a=0有唯一的根x₀=lna，并且x₀是g（x）的極小值點(diǎn)，
要使g（x）=0有兩根，只要g（x₀）＜0即可，（因?yàn)楫?dāng)x→+∞和x→-∞時(shí)，g（x）=e^x-a（x+2）→+∞）
由g(x0)=e^lna-a（lna+2）=-a（lna+1）＜0，得a＞

1

e

，
又由g（0）≠0，得a≠

1

2

，
反過(guò)來(lái)，若a＞

1

e

且a≠

1

2

時(shí)，則g（-1）=

1

e

-a＜0，g（x）=0的兩根中，一個(gè)大于-1，另一個(gè)小于-1，
于是在定義域中，連同x=0，f′（x）=0共有三個(gè)相異實(shí)根，并且在這三個(gè)根的左右，f′（x）的正負(fù)變號(hào)，它們就是f（x）的三個(gè)極值點(diǎn)，
綜上，a的取值范圍是(

1

e

，

1

2

)∪(

1

2

，+∞)；
②證明由①可知f（x）有三個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，x₃中，兩個(gè)是g（x）=0的兩根（不妨設(shè)為x₁，x₂，其中x₁＜-1＜x₂），另一個(gè)為 x₃=0，
要證：x₁+x₂+x₃＞-2．
只要證：x₁+x₂＞-2，
即只要證明x₁＞-x₂-2，
因?yàn)間（x）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減，其中l(wèi)na＞-1，
故只要證g（x₁）＜g（-2-x₂），其中g(shù)（x₁）=g（x₂）=0，
只要證g（x₂）＜g（-2-x₂），
而ex2-a(x2+2)＜e-2-x2-a[(-2-x2+2]
只要證ex2-e-2-x2-2a(x2+1)＜0，
由g（x₂）=ex2-a(x2+2)=0，得a=

ex2

x2+2

，由此代入上述不等式，只要證明ex2-e-2-x2-

2ex2

x2+2

(x2+1)＜0，
只要證x2ex2+(x2+2)e-x2-2＞0，
令h（x）=xe^x+（x+2）e^-x-2，
當(dāng)x＞-1時(shí)，h′（x）=（x+1）e^x-（x+1）e^-x-2=（x+1）（e^x-e^-x-2）＞0，h（x）單調(diào)遞增，而h（-1）=0，
所以當(dāng)x＞-1時(shí)，h（x）＞0，
于是證x2ex2+(x2+2)e-x2-2＞0，
即：x₁+x₂+x₃＞-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系，以及利用分析法證明，同時(shí)考查了運(yùn)算能力，分析問(wèn)題的能力，屬于難題．