已知對于圓x2+(y-1)2=1上任一點P(x,y),不等式x+y+m≥0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

思路解析:x+y+m≥0恒成立,即(x+y)min≥-m.

解法一:利用二元一次不等式表示的平面區(qū)域求解.

對于(x,y),若不等式x+y+m≥0恒成立,則點(x,y)應在直線x+y+m=0上,或在直線x+y+m=0的右上方.

若求出x+y=t的截距t,則x+y+m=0的截距-m應滿足-m≤t,即m≥-t.

由于x+y=t是圓的一條切線,由點到直線的距離公式,得1=.

∴t=1-,或t=1+(舍去,為什么).

∴m≥-t=-1為所求.

解法二:(利用圓的參數(shù)方程,設點P(cosθ,1+sinθ),將問題轉(zhuǎn)化成三角問題來解決)

設圓x2+(y-1)2=1上任一點P(cosθ,1+sinθ),θ∈[0,2π.

∴x=cosθ,y=1+sinθ.∵x+y+m≥0恒成立,

∴cosθ+1+sinθ+m≥0恒成立,即m≥-(1+sinθ+cosθ)恒成立.

∴只需m大于等于-(1+sinθ+cosθ)的最大值.

設u=-(sinθ+cosθ)-1=-sin(θ+)-1,

∴umax=-1,即m≥-1.

深化升華

    一般地,把圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點可設為(a+rcosθ,b+rsinθ)(θ∈[0,2π)).用這種設法一方面可減少參數(shù)的個數(shù),另一方面可靈活地運用三角公式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:044

已知對于圓x2+(y-1)2=1上任意一點Px,y),不等式x+y+m≥0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

 

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