Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；

（Ⅲ）若，使（）成立，求實數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是.；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（1）先求，解不等式并和定義域求交集，得的單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式并和定義域求交集，得的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）等價于在時恒成立，即，故，得實數(shù)a的取值范圍；（3）由特稱量詞的含義知，在區(qū)間內(nèi)存在兩個獨立變量，使得已知不等式成立，等價于的最小值小于等于的最大值，分別求兩個函數(shù)的最小值和最大值，建立實數(shù)的不等式，進而求的范圍.

試題解析：由已知函數(shù)的定義域均為,且.

（Ⅰ）函數(shù)，當且時,;當時,.

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是.

（Ⅱ）因f(x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立．

所以當時，．又，故當，即時，．所以于是，故a的最小值為．

（Ⅲ）命題“若使成立”等價于“當時，

有”．

由（Ⅱ），當時，，．  問題等價于：“當時，有”．

當時，由（Ⅱ），在上為減函數(shù)，則=，故．

當0<時，由于在上為增函數(shù)，故的值域為，即．由的單調(diào)性和值域知，唯一，使，且滿足：當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)；所以，=，．所以，，與矛盾，不合題意．綜上，得．

考點：1、導數(shù)在單調(diào)性上的應用；2、利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值.