對于數(shù)列,定義“變換”:將數(shù)列變換成數(shù)列,其中,且,這種“變換”記作.繼續(xù)對數(shù)列進行“變換”,得到數(shù)列,…,依此類推,當?shù)玫降臄?shù)列各項均為時變換結束.

(Ⅰ)試問經過不斷的“變換”能否結束?若能,請依次寫出經過“變換”得到的各數(shù)列;若不能,說明理由;

(Ⅱ)求經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件;

(Ⅲ)證明:一定能經過有限次“變換”后結束.

 

【答案】

(Ⅰ)解:數(shù)列不能結束,各數(shù)列依次為;;;;;….從而以下重復出現(xiàn),不會出現(xiàn)所有項均為的情形.        ……2分

數(shù)列能結束,各數(shù)列依次為;;

                                              ……………3分

(Ⅱ)解:經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件是.……4分

,則經過一次“變換”就得到數(shù)列,從而結束.……5分

當數(shù)列經過有限次“變換”后能夠結束時,先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列,則為常數(shù)列”.

時,數(shù)列

由數(shù)列為常數(shù)列得,解得,從而數(shù)列也為常數(shù)列.

其它情形同理,得證.

在數(shù)列經過有限次“變換”后結束時,得到數(shù)列(常數(shù)列),由以上命題,它變換之前的數(shù)列也為常數(shù)列,可知數(shù)列也為常數(shù)列.          ………8分

所以,數(shù)列經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件是

(Ⅲ)證明:先證明引理:“數(shù)列的最大項一定不大于數(shù)列的最大項,其中”.

證明:記數(shù)列中最大項為,則

,,其中

因為,  所以

,證畢.                     ……………9分

現(xiàn)將數(shù)列分為兩類.

第一類是沒有為的項,或者為的項與最大項不相鄰(規(guī)定首項與末項相鄰),此時由引理可知,.      

第二類是含有為的項,且與最大項相鄰,此時

下面證明第二類數(shù)列經過有限次“變換”,一定可以得到第一類數(shù)列.

不妨令數(shù)列的第一項為,第二項最大().(其它情形同理)

① 當數(shù)列中只有一項為時,

(),則,此數(shù)列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰,為第一類數(shù)列;

,則;此數(shù)列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰,為第一類數(shù)列;

(),則,此數(shù)列各項均不為,為第一類數(shù)列;

,則;,

此數(shù)列各項均不為,為第一類數(shù)列.

② 當數(shù)列中有兩項為時,若(),則,此數(shù)列各項均不為,為第一類數(shù)列;

(),則,,此數(shù)列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰,為第一類數(shù)列.

③ 當數(shù)列中有三項為時,只能是,則,

,,此數(shù)列各項均不為,為第一類數(shù)列.

總之,第二類數(shù)列至多經過次“變換”,就會得到第一類數(shù)列,即至多連續(xù)經歷次“變換”,數(shù)列的最大項又開始減少.

又因為各數(shù)列的最大項是非負整數(shù),

故經過有限次“變換”后,數(shù)列的最大項一定會為,此時數(shù)列的各項均為,從而結束.                 ………………13分

【解析】略

 

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對于數(shù)列A:a1,a2,…,an,若滿足ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),則稱數(shù)列A為“0-1數(shù)列”.定義變換T,T將“0-1數(shù)列”A中原有的每個1都變成0,1,原有的每個0都變成1,0.例如A:1,0,1,則T(A):0,1,1,0,0,1.設A0是“0-1數(shù)列”,令Ak=T(Ak-1),k=1,2,3,…
(1)若數(shù)列A2:1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1.則數(shù)列A0
1,0,1
1,0,1
;
(2)若A0為0,1,記數(shù)列Ak中連續(xù)兩項都是0的數(shù)對個數(shù)為lk,k=1,2,3,…,則l2n關于n的表達式.是
l2n=
1
3
(4n-1)
l2n=
1
3
(4n-1)

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對于數(shù)列A:a1,a2,…,an,若滿足ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),則稱數(shù)列A為“0-1數(shù)列”.定義變換T,T將“0-1數(shù)列”A中原有的每個1都變成0,1,原有的每個0都變成1,0.例如A:1,0,1,則T(A):0,1,1,0,0,1.設A0是“0-1數(shù)列”,令Ak=T(Ak-1),k=1,2,3,…
(Ⅰ) 若數(shù)列A2:1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1.求數(shù)列A1,A0;
(Ⅱ) 若數(shù)列A0共有10項,則數(shù)列A2中連續(xù)兩項相等的數(shù)對至少有多少對?請說明理由;
(Ⅲ)若A0為0,1,記數(shù)列Ak中連續(xù)兩項都是0的數(shù)對個數(shù)為lk,k=1,2,3,…求lk關于k的表達式.

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20.(本小題共13分)

對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列,定義變換,將數(shù)列變換成數(shù)列

對于每項均是非負整數(shù)的數(shù)列,定義變換,將數(shù)列各項從大到小排列,然后去掉所有為零的項,得到數(shù)列;

又定義

是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,令

(Ⅰ)如果數(shù)列為5,3,2,寫出數(shù)列

(Ⅱ)對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列,證明

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對于數(shù)列,定義“變換”:將數(shù)列變換成數(shù)列,其中,且.這種“變換”記作.繼續(xù)對數(shù)列進行“變換”,得到數(shù)列,依此類推,當?shù)玫降臄?shù)列各項均為時變換結束.

(Ⅰ)試問經過不斷的“變換”能否結束?若能,請依次寫出經過“變換”得到的各數(shù)列;若不能,說明理由;

(Ⅱ)設,.若,且的各項之和為

(�。┣�;

(ⅱ)若數(shù)列再經過次“變換”得到的數(shù)列各項之和最小,求的最小值,并說明理由.

 

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