對于數(shù)列,定義“
變換”:
將數(shù)列
變換成數(shù)列
,其中
,且
,這種“
變換”記作
.繼續(xù)對數(shù)列
進行“
變換”,得到數(shù)列
,…,依此類推,當?shù)玫降臄?shù)列各項均為
時變換結束.
(Ⅰ)試問和
經過不斷的“
變換”能否結束?若能,請依次寫出經過“
變換”得到的各數(shù)列;若不能,說明理由;
(Ⅱ)求經過有限次“
變換”后能夠結束的充要條件;
(Ⅲ)證明:一定能經過有限次“
變換”后結束.
(Ⅰ)解:數(shù)列不能結束,各數(shù)列依次為
;
;
;
;
;
;….從而以下重復出現(xiàn),不會出現(xiàn)所有項均為
的情形. ……2分
數(shù)列能結束,各數(shù)列依次為
;
;
;
.
……………3分
(Ⅱ)解:經過有限次“
變換”后能夠結束的充要條件是
.……4分
若,則經過一次“
變換”就得到數(shù)列
,從而結束.……5分
當數(shù)列經過有限次“
變換”后能夠結束時,先證命題“若數(shù)列
為常數(shù)列,則
為常數(shù)列”.
當時,數(shù)列
.
由數(shù)列為常數(shù)列得
,解得
,從而數(shù)列
也為常數(shù)列.
其它情形同理,得證.
在數(shù)列經過有限次“
變換”后結束時,得到數(shù)列
(常數(shù)列),由以上命題,它變換之前的數(shù)列也為常數(shù)列,可知數(shù)列
也為常數(shù)列. ………8分
所以,數(shù)列經過有限次“
變換”后能夠結束的充要條件是
.
(Ⅲ)證明:先證明引理:“數(shù)列的最大項一定不大于數(shù)列
的最大項,其中
”.
證明:記數(shù)列中最大項為
,則
.
令,
,其中
.
因為,
所以
,
故,證畢.
……………9分
現(xiàn)將數(shù)列分為兩類.
第一類是沒有為的項,或者為
的項與最大項不相鄰(規(guī)定首項與末項相鄰),此時由引理可知,
.
第二類是含有為的項,且與最大項相鄰,此時
.
下面證明第二類數(shù)列經過有限次“
變換”,一定可以得到第一類數(shù)列.
不妨令數(shù)列的第一項為
,第二項
最大(
).(其它情形同理)
① 當數(shù)列中只有一項為
時,
若(
),則
,此數(shù)列各項均不為
或含有
項但與最大項不相鄰,為第一類數(shù)列;
若,則
;
此數(shù)列各項均不為
或含有
項但與最大項不相鄰,為第一類數(shù)列;
若(
),則
,此數(shù)列各項均不為
,為第一類數(shù)列;
若,則
;
;
,
此數(shù)列各項均不為,為第一類數(shù)列.
② 當數(shù)列中有兩項為
時,若
(
),則
,此數(shù)列各項均不為
,為第一類數(shù)列;
若(
),則
,
,此數(shù)列各項均不為
或含有
項但與最大項不相鄰,為第一類數(shù)列.
③ 當數(shù)列中有三項為
時,只能是
,則
,
,
,此數(shù)列各項均不為
,為第一類數(shù)列.
總之,第二類數(shù)列至多經過
次“
變換”,就會得到第一類數(shù)列,即至多連續(xù)經歷
次“
變換”,數(shù)列的最大項又開始減少.
又因為各數(shù)列的最大項是非負整數(shù),
故經過有限次“變換”后,數(shù)列的最大項一定會為
,此時數(shù)列的各項均為
,從而結束.
………………13分
【解析】略
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
1 |
3 |
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3 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
20.(本小題共13分)
對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列,定義變換
,
將數(shù)列
變換成數(shù)列
.
對于每項均是非負整數(shù)的數(shù)列,定義變換
,
將數(shù)列
各項從大到小排列,然后去掉所有為零的項,得到數(shù)列
;
又定義.
設是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,令
.
(Ⅰ)如果數(shù)列為5,3,2,寫出數(shù)列
;
(Ⅱ)對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列,證明
;
(Ⅲ)證明對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,存在正整數(shù)
,當
時,
.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年北京市西城區(qū)高三4月第一次模擬考試文科數(shù)學(解析版) 題型:解答題
對于數(shù)列,定義“
變換”:
將數(shù)列
變換成數(shù)列
,其中
,且
.這種“
變換”記作
.繼續(xù)對數(shù)列
進行“
變換”,得到數(shù)列
,依此類推,當?shù)玫降臄?shù)列各項均為
時變換結束.
(Ⅰ)試問經過不斷的“
變換”能否結束?若能,請依次寫出經過“
變換”得到的各數(shù)列;若不能,說明理由;
(Ⅱ)設,
.若
,且
的各項之和為
.
(�。┣�,
;
(ⅱ)若數(shù)列再經過
次“
變換”得到的數(shù)列各項之和最小,求
的最小值,并說明理由.
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