Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，是中點．

證明：平面；

線段上是否存在點，使三棱錐的體積為？若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）為的中點.

【解析】

連接，與 交于點O，連接OD，，由三角形中位線定理可得，再由線面平行的判定可得平面；

連接，假設線段上存在點N，使得三棱錐 的體積為，設N到平面 的距離為h，由三棱錐的體積為求得h，進一步求得

N為 的中點得結論．

證明：如圖，連接，與 交于點O，連接OD，，

在中，O和D分別是和CB的中點，則，

又平面，

平面；

解：連接，假設線段上存在點N，使得三棱錐的體積為，

設N到平面 的距離為h，

由題意可知，為等邊三角形，

又D為BC的中點，．

又三棱柱為直三棱柱，，

故AD平面，

為直角三角形，，，

的面積為，由三棱錐的體積公式可知，，

．

又平面，平面平面，

故點N到平面 的距離與點N到直線的距離相等，

又為等腰直角三角形，點C到直線的距離為．

又點B與點C到到平面的距離相等，故點B到直線的距離也為，

當N為的中點時，點N到平面的距離為，三棱錐的體積為．