Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是 (為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為

（Ⅰ）求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求.

Answer 1

【答案】（I）曲線C：，直線l：；

（II）

【解析】

（Ⅰ）由同角的平方關(guān)系，化簡(jiǎn)可得曲線的普通方程，由極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系：，，結(jié)合兩角和的余弦公式，可得直線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）求得的坐標(biāo)，設(shè)出直線的參數(shù)方程，代入曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)公式，計(jì)算可得所求值．

解：（Ⅰ）曲線的參數(shù)方程是 (為參數(shù))，

可得，

則曲線C的普通方程為，

直線l的極坐標(biāo)方程為，，

即，

由，可得

；

（II）由直線l的方程，可得，

設(shè)直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

將該參數(shù)方程代入圓，

可得，

則

，

，

則.