Question

20、如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)．
求證：（1）FD∥平面ABC；
（2）平面EAB⊥平面EDB．

Answer 1

分析：（1）取AB中點(diǎn)G，連CG，F(xiàn)G，由已知中F是BE的中點(diǎn)，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)，可得FG平行且等于AE的一半，又由EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=2a，DC=a，可得四邊形DEGC是平行四邊形，進(jìn)而得到DF∥CG，由線面平行的判定定理即可得到FD∥平面ABC；
（2）由已知中EA垂直于平面ABC，則EA⊥CG，又由△ABC是正三角形，可得CG⊥AB，由線面垂直的判定定理，可得CG⊥平面EAB，進(jìn)而DF⊥平面EAB，結(jié)合面面垂直的判定定理即可得到平面EAB⊥平面EDB．

解答：證明：（1）取AB中點(diǎn)G，連CG，F(xiàn)G
四邊形DEGC是平行四邊形，
得到DF∥CG
DF?平面ABC，CG?平面ABC
所以FD∥平面ABC；
（2）可以證明CG⊥平面EAB，
又DF∥CG，所以DF⊥平面EAB
DF?平面EBD，所以，平面EAB⊥平面EDB

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，其中熟練掌握線面平行及線面垂直、面面垂直的判定方法及證明步驟是解答本題的關(guān)鍵．