Question

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)矩形OPQR的頂點按逆時針順序依次為O（0，0）、P（1，t）、Q（1-2t，2+t）、R（-2t，2），
其中t∈（0，+∞）．
（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面積S（t）；
（2）確定函數(shù)S（t）的單調(diào)區(qū)間，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）要求矩形OPQR在第一象限部分的面積S（t），必須考查各頂點的可能位置．由于t為正數(shù)，O是坐標(biāo)原點，顯然點P在第一象限，點R在第二象限，但點Q的橫坐標(biāo)1-2t可正、可零、可負(fù)，即Q點可能在第一象限或在y軸上或在第二象限，需分類求解．
（2）由（1）知t的不同取值知S（t）有不同的表達式，因此要就不同的表達式來確定函數(shù)S（t）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）當(dāng)1-2t＞0即0＜t＜

1

2

時，0＜t＜

1

2

時，點Q在第一象限，如圖（1），
直線RQ的方程為y=t（x+2t）+2，它與y軸的交點T（0，2+2t²），
故△ORT的面積S=

1

2

×2t×（2+2t²）=2t×（1+t²）
可得矩形在第一象限內(nèi)的部分面積為S（t）=2+2t²-2t×（1+t²）=2[1-t×（1+t+t²）]
當(dāng)-2t+1≤0，即t≥

1

2

時，如圖（2），點Q在y軸上或第二象限，S（t）為△OPT的面積，
直線PQ的方程為y=-

x

t

+t+

1

t

，
令x=0得y=t+

1

t

，故點T的坐標(biāo)為（0，t+

1

t

），
故S（t）=S_△OPT=

1

2

×(t+

1

t

) ×1=

1

2

×(t+

1

t

)
綜上知S（t）=

2[1-t×(1+t+t 2)]   0＜t＜ 1 2 1 2 ×(t+ 1 t )           t≥ 1 2

（2）S（t）在區(qū)間（0，

1

2

）與（

1

2

，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）是增函數(shù)，證明如下
下用導(dǎo)數(shù)法證明：
由于S'（t）=

-2-4t-6t2   0＜t＜ 1 2 1 2 (1- 1 t2 )    t≥ 1 2

驗證知當(dāng)在區(qū)間（0，

1

2

）與（

1

2

，1）上S'（t）＜0，在（1，+∞）上S'（t）＞0
故得S（t）在區(qū)間（0，

1

2

）與（

1

2

，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）是增函數(shù)

點評：本題考點是函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，考查根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系式，借用函數(shù)的單調(diào)性研究實際問題的變化情況，本題是借助函數(shù)的變化研究圖形面積的變化，本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化的思想，根據(jù)題意選擇合適的函數(shù)模型來研究幾何問題是一種常見的思路．