Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-a+2
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求實數(shù)a，b的值；
（2）若b=2，a＞0，解關(guān)于x的不等式f（x）＞0；
（3）若a=1，b∈R，當x∈[1，4]時函數(shù)y=f（x）的圖象恒在函數(shù)y=-2x-3圖象的上方，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）通過不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），列出不等式即可求實數(shù)a，b的值；
（2）通過b=2，a＞0，轉(zhuǎn)化不等式f（x）＞0為二次不等式，利用方程的根的大小比較，分類討論求解即可；
（3）通過a=1，b∈R，當x∈[1，4]時函數(shù)y=f（x）的圖象恒在函數(shù)y=-2x-3圖象的上方，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用分類討論以及函數(shù)的最值求解實數(shù)b的取值范圍．

解答： （1）解：由題意知：

a＜0 - b a =2 -a+2 a =-3

∴

a=-1 b=2

…（3分）
（2）解：當b=2，a＞0時，ax²+2x-a+2＞0
∴（ax-a+2）（x+1）＞0…（5分）
∴(x-

a-2

a

)(x+1)＞0
（I）當

a-2

a

＞-1，即a＞1時，不等式解集為{x|x＜-1或x＞

a-2

a

}
（II）當

a-2

a

=-1，即a=1時，不等式解集為{x|x≠-1}
（III）當

a-2

a

＜-1，即0＜a＜1時，不等式解集為{x|x＜

a-2

a

或x＞-1}…（8分）
（3）解：當a=1，b∈R時，由題意可知：x²+bx+1＞-2x-3對x∈[1，4]恒成立
即x²+（b+2）x+4＞0x∈[1，4]恒成立…（10分）
令g（x）=x²+（b+2）x+4
（I）當-

b+2

2

≤1時，即b≥4時，g（x）在[1，4]單調(diào)增
∴

g

(x) min

=g(1)=b+7＞0∴b＞-7此時b≥-4
（II）當-

b+2

2

≥4時，即b≤-10時，g（x）在[1，4]單調(diào)減
∴

g

(x) min

=g(4)=28+4b≥0∴b＞-7此時b不存在
（III）當1＜-

b+2

2

≤4時，即-10＜b＜-4時，

g

(x) min

=

16-(b+2)2

4

＞0∴-6＜b＜2此時-6＜b＜-4
由此可知  b＞-6…（16分）

點評：本題考查函數(shù)的恒成立，分類討論思想的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．