Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=a_nxⁿ（x∈R），求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和的公式．

Answer 1

分析：（1）本題是一個(gè)數(shù)列的基本量的運(yùn)算，根據(jù)題目所給的首項(xiàng)和前連續(xù)三項(xiàng)的值，寫出關(guān)于公差的方程，解方程可得結(jié)果．
（2）構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列，觀察這個(gè)數(shù)列是有一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的積構(gòu)成的，這種結(jié)構(gòu)要用錯(cuò)位相減法求的結(jié)果，解題時(shí)注意等比數(shù)列的公比與1的關(guān)系，進(jìn)行討論．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
則a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12．
又a₁=2，得d=2．
∴a_n=2n．
（2）當(dāng)x=0時(shí)，b_n=0，S_n=0，
當(dāng)x≠0時(shí)，令S_n=b₁+b₂+…+b_n，
則由b_n=a_nxⁿ=2nxⁿ，得
S_n=2x+4x²++（2n-2）x^n-1+2nxⁿ，①
xS_n=2x²+4x³++（2n-2）xⁿ+2nxⁿ⁺¹．②
當(dāng)x≠1時(shí)，①式減去②式，得
（1-x）S_n=2（x+x²++xⁿ）-2nxⁿ⁺¹
=

2x(1-xn)

1-x

-2nxⁿ⁺¹．
∴S_n=

2x(1-xn)

(1-x)2

-

2nxn+1

1-x

．
當(dāng)x=1時(shí)，S_n=2+4++2n=n（n+1）．
綜上可得，當(dāng)x=1時(shí)，S_n=n（n+1）；
當(dāng)x≠1時(shí)，S_n=

2x(1-xn)

(1-x)2

-

2nxn+1

1-x

．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用．一方面數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備．