Question

10．如圖所示，兩個(gè)半徑為R的四分之一圓弧構(gòu)成的光滑細(xì)管道ABC豎直放置，且固定在光滑水平面上，圓心連線O₁O₂水平．輕彈簧左端固定在豎直擋板上，右端與質(zhì)量為m的小球接觸（不拴接，小球的直徑略小于管的內(nèi)徑），長(zhǎng)為R的薄板DE置于水平面上，板的左端D到管道右端C的水平距離為R．開(kāi)始時(shí)彈簧處于鎖定狀態(tài)，具有的彈性勢(shì)能為3mgR，其中g(shù)為重力加速度．解除鎖定，小球離開(kāi)彈簧后進(jìn)入管道，最后從C點(diǎn)拋出．

（1）求小球經(jīng)C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能和小球經(jīng)C點(diǎn)時(shí)所受的彈力．
（2）討論彈簧鎖定時(shí)彈性勢(shì)能滿足什么條件，從C點(diǎn)拋出的小球才能擊中薄板DE．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒定律可以求出小球的動(dòng)能．小球做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律可以求出彈力大小．
（2）小球離開(kāi)C后做平拋運(yùn)動(dòng)，由分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出C點(diǎn)的速度范圍，再由能量守恒定律求出彈簧的彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）從解除彈簧鎖定到小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程，彈簧和小球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則
由機(jī)械能守恒定律得：3mgR=2mgR+E_k
解得：小球經(jīng)C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能 E_k=mgR；
小球過(guò)C時(shí)的動(dòng)能：E_k=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
設(shè)小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的作用力為F，方向豎直向下．
由牛頓第二定律得：mg+F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F=mg，方向豎直向下；
（2）小球離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則
豎直方向有：2R=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向：x₁=v_Ct，
若要小球擊中薄板，應(yīng)滿足：R≤x₁≤2R，
彈簧的彈性勢(shì)能：E_P=2mgR+=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得，彈性勢(shì)能E_P滿足：$\frac{17}{8}$mgR≤E_p≤$\frac{5}{2}$mgR時(shí)，小球才能擊中薄板；
答：
（1）小球經(jīng)C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為mgR；小球經(jīng)C點(diǎn)時(shí)所受的彈力為mg，方向豎直向下；
（2）當(dāng)彈性勢(shì)能E_P滿足：$\frac{17}{8}$mgR≤E_p≤$\frac{5}{2}$mgR時(shí)，小球才能擊中薄板DE．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，明確圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源：指向圓心的合力．知道平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法：運(yùn)動(dòng)的分解法，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可正確解題．