Question

如圖所示，豎直固定放置的粗糙斜面AB的下端與光滑的圓弧BCD的B點(diǎn)相切，圓弧軌道的半徑為R，圓心O與A、D在同一水平面上，∠COB=θ，現(xiàn)有質(zhì)量為m的小物體從距D點(diǎn)為

Rcosθ

4

的地方無(wú)初速的釋放，已知物體恰能從D點(diǎn)進(jìn)入圓軌道．求：
（1）為使小物體不會(huì)從A點(diǎn)沖出斜面，小物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為多少？
（2）若小物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=

sinθ

2cosθ

，則小物體在斜面上通過(guò)的總路程大�。�
（3）小物體通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)C時(shí)，對(duì)C的最大壓力和最小壓力各是多少？

Answer 1

（1）為使小物體不會(huì)從A點(diǎn)沖出斜面，由動(dòng)能定理得mg

Rcosθ

4

-μmgcosθ

Rcosθ

sinθ

=0
解得動(dòng)摩擦因數(shù)至少為：μ=

sinθ

4cosθ

（2）分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程可得，最終小物體將從B點(diǎn)開(kāi)始做往復(fù)的運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理得
mg（

Rcosθ

4

+Rcosθ）-μmgScosθ=0
解得小物體在斜面上通過(guò)的總路程為：S=

5Rcosθ

2sinθ

（3）由于小物體第一次通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)速度最大，此時(shí)壓力最大，由動(dòng)能定理，得
mg（

Rcosθ

4

+R）=

1

2

mv²
由牛頓第二定律，得
N_max-mg=m

v2

R

解得N_max=3mg+

1

2

mgcosθ
最終小物體將從B點(diǎn)開(kāi)始做往復(fù)的運(yùn)動(dòng)，則有
mgR（1-cosθ）=

1

2

mv^′2
N_min-mg=m

v′2

R

聯(lián)立以上兩式解得N_min=mg（3-2cosθ）
由牛頓第三定律，得小物體通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)C的最大壓力
Nmax′=3mg+

1

2

mgcosθ，
最小壓力Nmin′=mg（3-2cosθ）．