Question

14．傾角為θ=30°的光滑斜面上有一輕桿可繞固定轉軸O在斜面內轉動，兩個可視為質點的小球A、B固定于輕桿兩端，A、B質量分別為m、2m，A、B距O點距離分別為l、2l，O距斜面底端P點距離為d，d＞2l，已知重力加速度為g．現將輕桿從水平位置無初速釋放，如圖所示．
（1）當輕桿轉動90°時，求小球A、B的速度大小v_A、v_B；
（2）當輕桿轉動90°時，若兩球與輕桿分離，兩小球到達斜面底端與P點距離相等，求OP距離d（用l表示）．

Answer 1

分析 （1）A、B兩球組成的系統(tǒng)機械能守恒，抓住A、B兩球的角速度大小相等，得出線速度的大小關系，從而結合機械能守恒求出A、B的速度大小．
（2）兩小球與輕桿分離后均作類平拋運動，結合牛頓第二定律和運動學公式求出運動的時間，結合類平拋運動的初速度，運用幾何關系求出OP間的距離．

解答 解：（1）由水平無初速釋放轉動90°過程中，小球A、B系統(tǒng)機械能守恒
2mgsin30°•2l=mgsin30°•l+$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}•2m{{v}_{B}}^{2}$，
小球A、B運動角速度大小相等  有$\frac{{v}_{A}}{l}=\frac{{v}_{B}}{2l}$，
解得${v}_{A}=\sqrt{\frac{gl}{3}}$，${v}_{B}=2\sqrt{\frac{gl}{3}}$．
（2）兩小球與輕桿分離后均作類平拋運動，沿斜面加速度大小為a=gsinθ=$\frac{g}{2}$，
設小球A到達斜面底端歷時t_A，小球到達斜面底端與P點距離為x_A，
d+l=$\frac{1}{2}a{{t}_{A}}^{2}$，x_A=v_At_A，
設小球B達斜面底端歷時t_B，小球到達斜面底端與P點距離為x_B，
d-2l=$\frac{1}{2}a{{t}_{B}}^{2}$，x_B=v_Bt_B，
聯(lián)立解得d=3l．
答：（1）小球A、B的速度大小分別為$\sqrt{\frac{gl}{3}}$、$2\sqrt{\frac{gl}{3}}$．
（2）OP距離d為3l．

點評 本題考查了機械能守恒、牛頓第二定律和運動學公式的綜合運用，知道A、B兩球與輕桿分離前具有相同的角速度，分離后均做類平拋運動，結合運動學公式進行求解，難度中等．