Question

2．如圖所示，一垂直放置的高為15.0cm的圓柱中空玻璃容器，其底部玻璃較厚，底部頂點(diǎn)A點(diǎn)到容器底平面中心B點(diǎn)的距離為8.0cm，底部上底為一凸起的球冠，球心C點(diǎn)在A點(diǎn)正下方，球的半徑為1.75cm，已知空氣和容器玻璃的折射率分別是n₀=1.0，n₁=1.56，只考慮軸光線成像．已知當(dāng)λ＜＜1，sinλ≈λ．
（1）當(dāng)容器內(nèi)未裝任何液體時(shí)，求從B點(diǎn)發(fā)出的光線通過平凸玻璃柱，在玻璃柱對(duì)稱軸上所成的像的位置，并判斷像的虛實(shí)；
（2）當(dāng)容器內(nèi)裝滿折射率為1.30的液體時(shí)，求從B點(diǎn)發(fā)出的光線通過平凸玻璃柱的上表面折射后所成像點(diǎn)的位置，并判斷這個(gè)像的虛實(shí)．

Answer 1

分析 （1）未加入液體時(shí)，杯底凸球面的兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別為n和n₀．在圖中，B為畫片中心，由B發(fā)出經(jīng)過球心C的光線PO經(jīng)過頂點(diǎn)不變方向進(jìn)入空氣中；由B發(fā)出的與BO成α角的另一光線BD在D處折射．設(shè)D處入射角為i，折射角為r，半徑CD與DO的夾角為θ，由折射定律和幾何關(guān)系結(jié)合求解．
（2）同理，在當(dāng)容器內(nèi)裝滿折射率為1.30的液體時(shí)，仍然依以上的方法即可求出．

解答 解：（1）當(dāng)容器內(nèi)未裝任何液體時(shí)，杯底凸球面的兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別為n₀=1.0和n₁=1.56，在圖中，由B發(fā)出經(jīng)過球心C的光線BA經(jīng)過頂點(diǎn)不變方向進(jìn)入空氣中；由B發(fā)出的與BA成α角的另一光線BD在D處折射．設(shè)D處入射角為θ，折射角為φ，并與前一條光線交于E點(diǎn)，E點(diǎn)就是B的像點(diǎn)的位置．

由折射定律和幾何關(guān)系可得
n₁sinθ=n₀sinφ；  γ=θ+α；φ=γ+β    ①
在△BCD和△CDE中，由正弦定理，有$\frac{\overline{CD}}{sinα}=\frac{\overline{BC}}{sinθ}$；$\frac{\overline{CD}}{sinβ}=\frac{\overline{CE}}{sinφ}$   ②
考慮近軸光線成像，α，β，γ、φ、都是小角度，則有
n₁θ=n₀φ；$θ•\overline{CD}=α•\overline{BC}$；$φ•\overline{CD}=β•\overline{CE}$ ③
由③式，可得：$α+θ=φ（1+\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}）•\frac{{n}_{0}}{{n}_{1}}=0.82φ＜φ$  ④
考慮到光線是匯聚的，故所成的像是實(shí)像，由以上各式可得：
$\overline{CE}=\frac{φ}{β}•\overline{CD}=\frac{1}{1-\frac{{n}_{0}}{{n}_{1}}-\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}•\frac{{n}_{0}}{{n}_{1}}}•\overline{CD}$     ⑤
將數(shù)據(jù)代入公式，得：
$\overline{CE}=\frac{1}{1-\frac{1}{1.56}-\frac{1.75}{8.0-1.75}×\frac{1}{1.56}}×1.75=9.75$cm   
或：$\overline{BE}=\overline{BA}-\overline{AC}+\overline{CE}=（8.0-1.75+8.75）=16.0$cm
所以，B點(diǎn)發(fā)出的光在玻璃柱對(duì)稱軸上所成的像點(diǎn)的位置在C點(diǎn)正上方9.75cm處（或在B點(diǎn)正上方16.0cm處）
（2）當(dāng)容器內(nèi)裝滿折射率為1.30的液體時(shí)，容器底凸球面的兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別為n₂=1.30和n₁=1.56，如圖，在圖中，由B發(fā)出經(jīng)過球心C的光線BA經(jīng)過頂點(diǎn)不變方向進(jìn)入液體中；由B發(fā)出的與BA成α角的另一光線BD在D處折射．設(shè)D處入射角為θ，折射角為φ，并與前一條光線交于E點(diǎn)，E點(diǎn)即由B點(diǎn)發(fā)出的光線第一次折射后的成像的位置．

由折射定律和幾何關(guān)系可得
 n₁sinθ=n₂sinφ；  γ=θ+α；γ=φ+β    ⑥
在△BCD和△CDE中，由正弦定理，有$\frac{\overline{CD}}{sinα}=\frac{\overline{BC}}{sinθ}$；$\frac{\overline{CD}}{sinβ}=\frac{\overline{CE}}{sinφ}$   ⑦
考慮近軸光線成像，α，β，γ、φ、都是小角度，則有
n₁θ=n₂φ；$θ•\overline{CD}=α•\overline{BC}$；$φ•\overline{CD}=β•\overline{CE}$   ⑧
由⑧式，可得：$α+θ=φ（1+\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}）•\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}=1.07φ＞φ$  ⑨
考慮到光線是匯聚的，故所成的像是虛像，由以上各式可得：
$\overline{CE}=\frac{φ}{β}•\overline{CD}=\frac{1}{\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}+\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}•\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}-1}•\overline{CD}$  
將數(shù)據(jù)代入公式，得：$\overline{CE}=\frac{1}{\frac{1.30}{1.56}+\frac{1.75}{8.0-1.75}×\frac{1.30}{1.56}-1}×1.75=26.25$cm
所以B點(diǎn)發(fā)出的光在玻璃柱對(duì)稱軸上所成的像點(diǎn)的位置在C點(diǎn)正下方26.25cm處
答：（1）當(dāng)容器內(nèi)未裝任何液體時(shí)，從B點(diǎn)發(fā)出的光線通過平凸玻璃柱，在玻璃柱對(duì)稱軸上所成的像的位置在C點(diǎn)的正上方9.75cm處，是實(shí)像；
（2）當(dāng)容器內(nèi)裝滿折射率為1.30的液體時(shí)，從B點(diǎn)發(fā)出的光線通過平凸玻璃柱的上表面折射后在玻璃柱對(duì)稱軸上所成的像的位置在C點(diǎn)的正下方26.25cm處，是虛像．

點(diǎn)評(píng) 該題考查光的成像問題，解決本題的關(guān)鍵是畫出光路圖，借助透鏡成像規(guī)律，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答．