Question

11．如圖所示，一個(gè)固定在桌面上的L形物塊，其中abcd為$\frac{3}{4}$圓周的光滑軌道，軌道半徑為R，a為最高點(diǎn)，de平面水平，長度為R，在e處有一塊固定的豎直擋板e(cuò)f．將質(zhì)量為m的小球在d點(diǎn)的正上方釋放，讓其自由下落到d處切入軌道運(yùn)動，測得小球在a點(diǎn)處受軌道壓力大小等于3mg（重力加速度g），求：
（1）小球釋放點(diǎn)離d點(diǎn)的高度h；
（2）小球離開a點(diǎn)后，第一次撞擊前的動能．

Answer 1

分析 （1）小球在a點(diǎn)時(shí)由重力和軌道的壓力的合力提供向心力，由牛頓第二定律可求出小球通過a點(diǎn)的速度，再由機(jī)械能守恒定律求小球釋放點(diǎn)離d點(diǎn)的高度h；
（2）小球離開a后做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動的規(guī)律和幾何知識結(jié)合求出運(yùn)動時(shí)間，再求分速度，從而得到動能．

解答 解：（1）小球通過a點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的壓力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg+N=m$\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$
據(jù)題有：N=3mg
解得：v_a=2$\sqrt{gR}$
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：mg（h-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}$
解得：h=3R
（2）小球離開a點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，假設(shè)小球恰好落在d點(diǎn)時(shí)在a點(diǎn)的初速度為v₁，恰好落在d點(diǎn)時(shí)在e點(diǎn)的初速度為v₂．由平拋運(yùn)動的規(guī)律，
落在d點(diǎn)時(shí)有：R=$\frac{1}{2}$gt²；
R=v₁t；
解得：v₁=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
落在e點(diǎn)時(shí)有：2R=v₂t；
解得：v₂=$\sqrt{2gR}$
因?yàn)関_a=2$\sqrt{gR}$，所以小球會撞擊擋板．
從a到第一次撞擊的時(shí)間為：t′=$\frac{2R}{{v}_{a}}$=$\sqrt{\frac{R}{g}}$
小球第一次撞擊的速度大小為：v=$\sqrt{{v}_{a}^{2}+（gt′）^{2}}$=$\sqrt{5gR}$
動能為：E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=2.5mgR
答：（1）小球釋放點(diǎn)離d點(diǎn)的高度h是3R；
（2）小球離開a點(diǎn)后，第一次撞擊前的動能是2.5mgR．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵要把握圓周運(yùn)動向心力來源，充分理解平拋運(yùn)動的規(guī)律：水平方向的勻速直線運(yùn)動，豎直方向的自由落體運(yùn)動；它們的運(yùn)動具有等時(shí)性，靈活運(yùn)用運(yùn)動學(xué)公式和幾何關(guān)系研究平拋運(yùn)動．