Question

假設(shè)站在赤道某地的人，恰能在日落后4小時(shí)的時(shí)候，恰觀察到一顆自己頭頂上空被陽(yáng)光照亮的人造地球衛(wèi)星，若該衛(wèi)星是在赤道所在平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，又已知地球的同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍，試估算此人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的周期T為多少天？（ 結(jié)果可以帶根號(hào) ）

Answer 1

分析：作出衛(wèi)星與地球之間的幾何關(guān)系，根據(jù)幾何關(guān)系確定衛(wèi)星的軌道半徑為2R．
設(shè)此衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T(mén)₁，地球的運(yùn)行周期為T(mén)₂，則地球同步衛(wèi)星的周期也為T(mén)₂，依據(jù)常識(shí)我們可以知道T₂=24小時(shí)．
由 F向心=mω 2r=

GMm

r2

得：ω 2=

GM

r3

所以

ω 12

ω 22

=

r23

r13

=(

6.6R

2R

)3=

6．63

8

所以

ω1

ω2

=

6．63 8

，所以

T1

T2

=

2π ω 1

2π ω 2

=

ω 2

ω 1

=

8 6．63

≈

1

6

也可以根據(jù)開(kāi)普勒第三定律求解，計(jì)算更簡(jiǎn)單．

解答：解：如圖所示：

太陽(yáng)光可認(rèn)為是平行光，O是地心，人開(kāi)始在A點(diǎn)，這時(shí)剛好日落，因?yàn)榻?jīng)過(guò)24小時(shí)地球轉(zhuǎn)一圈，所以經(jīng)過(guò)4小時(shí)，地球轉(zhuǎn)了60度，即：∠AOC=60°，此時(shí)人已經(jīng)到了B點(diǎn)，衛(wèi)星在人的正上方C點(diǎn)，太陽(yáng)光正好能照到衛(wèi)星，所以根據(jù)∠AOC=60°就能確定衛(wèi)星的軌道半徑為：OC=2OA=2R．
設(shè)此衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T(mén)₁，地球的運(yùn)行周期為T(mén)₂，則地球同步衛(wèi)星的周期也為T(mén)₂，依據(jù)常識(shí)我們可以知道T₂=24小時(shí)．
根據(jù)開(kāi)普勒第三定律

T12

T22

=

(2R)3

(6.6R)3

=

8

6．63

所以T1=

8 6．63

T2≈

1

6

天
答：此人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的周期為

1

6

天．

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)題的關(guān)鍵就是要我們領(lǐng)會(huì)到“恰能在日落后4小時(shí)的時(shí)候，恰觀察到一顆自己頭頂上空被陽(yáng)光照亮的人造地球衛(wèi)星”，這句話是用來(lái)告訴我們求這顆衛(wèi)星的軌道半徑的，依據(jù)它的軌道半徑的比值關(guān)系再求出它的周期與地球周期的比，進(jìn)而解出它的周期．