Question

（2012年4月四川綿陽二模）如圖所示，兩根足夠長、電阻不計、間距為d的光滑平行金屬導軌，其所在平面與水平面夾角為θ，導軌平面內的矩形區(qū)域abcd內存在有界勻強磁場，磁感應強度大小b方向垂直于斜面向上，ab與cd之間相距為L₀金屬桿甲、乙的阻值相同，質量均為m,甲桿在磁場區(qū)域的上邊界ab處，乙桿在甲桿上方與甲相距L處，甲、乙兩桿都與導軌垂直。靜止釋放兩桿的同時，在甲桿上施加一個垂直于桿平行于導軌的外力F，使甲桿在有磁場的矩形區(qū)域內向下做勻加速直線運動，加速度大小甲離開磁場時撤去F，乙桿進入磁場后恰好做勻速運動，然后離開磁場。

(1 )求每根金屬桿的電阻R是多大？

(2 )從釋放金屬桿開始計時，求外力F隨時間t的變化關系式？并說明F的方向。

(3 )若整個過程中，乙金屬桿共產生熱量Q，求外力F對甲金屬桿做的功W是多少?

 

Answer 1

解：

(1) 設甲在磁場區(qū)域abcd內運動時間為t₁，乙從開始運動到ab位置的時間為t₂，則

，

，    1分

t₁＜t₂，即甲離開磁場時，乙還沒有進入磁場。   1分

設乙進入磁場時的速度為v₁，乙中的感應電動勢為E₁，回路中的電流為I₁，則

     1分

E₁= Bdv₁      1分

I₁=E₁/2R      1分

mgsinθ = BI₁d     1分

解得    1分

(2) 從釋放金屬桿開始計時，設經過時間t，甲的速度為v，甲中的感應電動勢為E，回路中的電流為I，外力為F，則

v= at      1分

E= Bdv  1分

I=E/2R     1分

F +mgsinθ－BId = ma    1分

a = 2gsinθ

解得 （0≤t≤）   1分

方向垂直于桿平行于導軌向下。   1分

 

(3) 甲在磁場中運動過程中，乙沒有進入磁場，設甲離開磁場時速度為v₀，乙沿導軌運動的距離是x，甲、乙產生的熱量相同，設分別為Q₁，則

    1分

    2分

解得

乙在磁場中運動過程中，甲乙產生相同的熱量，設分別為Q ₂，則

2Q₂ = mgLsinθ    2分

根據題意有Q = Q₁ + Q₂     1分

解得  W = 2Q   1分