Question

8．如圖所示，一質(zhì)量為m=1.0kg的貨物以初速v₀=10m/s從傾角為α=37°的順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的傳送帶的底端A處沿傳送帶向上運(yùn)動(dòng)，傳送帶的速率v₁=5.0m/s，A到頂端B之間的距離l=11m，貨物與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，g取10m/s²．試求貨物從A處開(kāi)始向上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中．
（1）摩擦力對(duì)物塊做的功；
（2）物塊和傳送帶摩擦產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）貨物以初速v₀向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受的滑動(dòng)摩擦力方向沿傳送帶向下，貨物向上減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和速度公式求出速度減至v₁時(shí)所用時(shí)間，根據(jù)μ與tanα的大小，判斷速度相等時(shí)貨物的運(yùn)動(dòng)情況，再由牛頓第二定律和位移公式求出上升的位移，與傳送帶的長(zhǎng)度比較，從而確定出貨物到達(dá)最高點(diǎn)的速度，最后由動(dòng)能定理求摩擦力對(duì)物塊做的功；
（2）求貨物與傳送帶間的相對(duì)位移，再求物塊和傳送帶摩擦產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）貨物以初速v₀開(kāi)始向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力方向沿傳送帶向下，貨物向上減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a₁，運(yùn)動(dòng)到v₁需時(shí)t₁，位移為x₁，傳送帶位移為x_傳1．
由牛頓第二定律得 
   mgsinθ-μmgcosθ=ma₁，
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得 v₁=v₀+a₁t₁，
聯(lián)立解得 t₁=0.5s．
又有 ${v}_{1}^{2}$-${v}_{0}^{2}$=-2a₁x₁，
解得 x₁=3.75m．
則 x_傳1=v₁t₁，
解得 x_傳1=2.5m
由于μ＜tanα，所以貨物不能與傳送帶保持相對(duì)靜止，繼續(xù)向上做勻減速運(yùn)動(dòng)．設(shè)其加速度為a₂，減速到速度為0還沒(méi)有運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，需時(shí)間t₂，位移為x₂，傳送帶位移為x_傳2．
由牛頓第二定律得 mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得 0=v₁-a₂t₂，
可得 t₂=2.5s
由$0-v_1^2=-2{a_2}{x_2}$，得 x₂=6.25m．
x_傳2=v₁t₂，則得  x_傳2=12.5m．
因x₁+x₂=3.75m+6.25m=10m＜l，所以假設(shè)成立，貨物運(yùn)動(dòng)不到B點(diǎn)速度就減小為零．
設(shè)貨物從A處開(kāi)始向上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中摩擦力做的功為W，由動(dòng)能定理得
  $W-mg（{x_1}+{x_2}）sinα=0-\frac{1}{2}mv_0^2$
得W=10J．
（2）物塊和傳送帶摩擦生熱Q=μmgcosα[（x₁-x_傳1）+（x_傳2-x₂）]
解得 Q=30J．
答：
（1）摩擦力對(duì)物塊做的功是10J；
（2）物塊和傳送帶摩擦產(chǎn)生的熱量是30J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清物體在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解，求出各段過(guò)程中的加速度是關(guān)鍵．