Question

如圖所示，在水平長(zhǎng)直的軌道上，有一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的平板車(chē)在外力控制下始終保持速度v₀，做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．某時(shí)刻將一質(zhì)量為m，可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊輕放到車(chē)面距右端

L

3

的c處，滑塊剛好停在小車(chē)左端A處，設(shè)定平板車(chē)上表面各處粗糙程度相同．
（1）求滑塊和平板車(chē)摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能；
（2）若平板車(chē)車(chē)速為2v₀，且保持不變，當(dāng)滑塊輕放到車(chē)面C處的同時(shí)對(duì)該滑塊施加一個(gè)與車(chē)運(yùn)動(dòng)方向相同的恒力F，要保證滑塊不能從車(chē)的左端A處掉下，恒力F大小應(yīng)該滿(mǎn)足什么條件？
（3）在（2）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從車(chē)上掉下，力F的作用時(shí)間應(yīng)該在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析：（1）小滑塊在滑動(dòng)摩擦力的作用下向右加速，根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和功能關(guān)系，結(jié)合幾何關(guān)系列式求解；
（2）假設(shè)取最小值，則滑塊恰好滑到最左端，再次根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和功能關(guān)系，結(jié)合幾何關(guān)系列式求解；
（3）小滑塊在平板車(chē)上先加速后減速，根據(jù)牛頓第二定律求加速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和幾何關(guān)系列式聯(lián)立求解恰好不掉下的臨界時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)小滑塊受平板車(chē)的動(dòng)摩擦力大小為f
根據(jù)牛頓第二定律，滑塊相對(duì)車(chē)滑動(dòng)時(shí)的加速度為a=

f

m

滑塊相對(duì)車(chē)滑動(dòng)時(shí)間t=

v0

a

滑塊相對(duì)車(chē)滑動(dòng)距離S=v₀t-

1

2

v₀t=v₀t
滑塊與車(chē)摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能Q=fs
解得Q=

1

2

mv₀²，f=

3 mv 2 0

4L

即滑塊和平板車(chē)摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能為

1

2

mv₀²．
（2）設(shè)恒力F取最小值F′，滑塊加速度為a₁，此時(shí)滑塊恰好達(dá)到車(chē)的左端，則滑塊運(yùn)動(dòng)到車(chē)左端的時(shí)間 t₁=

2v0

a1

由幾何關(guān)系，有 2v₀t₁-

1

2

v₀t₁=

2L

3

由牛頓定律有 F′+f=ma₁
解得：F′=3f=

9m v 2 0

4L

，t₁=

2L

3v0

則恒力F大小應(yīng)該滿(mǎn)足條件是F≥

9m v 2 0

4L

．
（3）力F取最小值，當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到車(chē)左端后，為使滑塊恰不從右端畫(huà)出，相對(duì)車(chē)先做勻加速運(yùn)動(dòng)（設(shè)運(yùn)動(dòng)加速度為a₂，時(shí)間為t₂），再做勻減速運(yùn)動(dòng)（設(shè)加速度大小為a₃）．到達(dá)車(chē)右端時(shí)，與車(chē)有共同速度，則有
F′-f=ma₂
f=ma₃

1

2

a2t

2 2

+

a 2 2 t 2 2

2a3

=L
代入數(shù)據(jù)解得 t₂=

2L

3v0

則力F的作用時(shí)間t應(yīng)該滿(mǎn)足t₁≤t≤t₁+t₂，即

2L

3v0

≤t≤

4L

3v0

即力F的作用時(shí)間應(yīng)該滿(mǎn)足

2L

3v0

≤t≤

4L

3v0

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是分析清楚物體受力后，根據(jù)牛頓第二定律求得各段的加速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合幾何關(guān)系列式求解．