Question

5．某工廠流水線車間傳送帶如圖所示：逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的傳送帶長(zhǎng)L=4m，與水平面夾角為37°；小工件被一個(gè)接一個(gè)地靜止放到傳送帶頂端A點(diǎn)，小工件與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25；則在這些小工件被運(yùn)送到底端B點(diǎn)過程中，求：
（1）小工件剛放上傳送帶時(shí)的加速度大�。�
（2）若要讓每個(gè)小工件都能最快地從A運(yùn)到B，傳送帶速率應(yīng)滿足的條件，并求出該最短時(shí)間；
（3）若要降低工廠耗能成本，要求每個(gè)小工件相對(duì)傳送帶滑動(dòng)的路程都最短，傳送帶速率應(yīng)滿足的條件，并求出一個(gè)小工件相對(duì)傳送帶的最短路程．
已知g取10m/s²，函數(shù)y=x$\sqrt{a{x}^{2}+b}$-x²在x²=$\frac{2a}$（$\frac{1}{\sqrt{1-a}}$-1）時(shí)取最大值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小工件根據(jù)牛頓第二定律求解加速度大小；
（2）小工件全程一直加速，運(yùn)行時(shí)間最短，根據(jù)牛頓第二定律得到加速度，根據(jù)速度時(shí)間關(guān)系求解速度；
（3）分析傳送帶以不同速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，小工件的運(yùn)動(dòng)情況和受力情況，利用牛頓第二定律列方程求解加速度，根據(jù)位移速度關(guān)系求解位移，得到全程相對(duì)滑動(dòng)路程的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系求解．

解答 解：（1）小工件剛放上傳送帶時(shí)，根據(jù)受力分析，有牛頓第二定律可知mgsin37°+μmgcos37°=ma₁
解得a=gsin37°+μgcos37°=8m/s²
（2）若要讓每個(gè)小工件都能最快地從A運(yùn)到B，滑塊在傳送帶上一直以8m/s²加速度加速運(yùn)動(dòng)，故滑塊到達(dá)斜面底端的速度為v，
則$2{a}_{1}L={v}^{2}$，
解得v=$\sqrt{2{a}_{1}L}=\sqrt{2×8×4}m/s=8m/s$，
故傳送帶的速度要不小于8m/s，所需時(shí)間t=$\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{8}{8}s=1s$
（3）當(dāng)傳送帶速度v₀=8m/s時(shí)，工件到B端剛好共速，相對(duì)滑動(dòng)為一單向滑動(dòng)；
對(duì)工件根據(jù)速度時(shí)間關(guān)系可得：v₀=a₁t，
解得t=1s，
位移：S_工件=L=4m；
對(duì)傳送帶：S_帶=v₀t=8m，
相對(duì)滑動(dòng)的路程為：△S_滑-S_工件=4m；
當(dāng)傳送帶的速度v₀＞8m/s時(shí)，工件到B端都未共速，相對(duì)滑動(dòng)也為一單向滑動(dòng)，且工件位移時(shí)間都與上相同，但傳送帶位移比以上要大，故相對(duì)路程△S＞4m，不考慮；
當(dāng)傳送帶速度v₀＜8m/s時(shí)，工件到B端前已共速，設(shè)傳送帶速度大小為v，從工件靜止釋放與傳送帶共速階段：
對(duì)工件：2a₁S_工件1=v²-0，v=a₁t₁，
對(duì)傳送帶：S_帶1=vt₁=$\frac{{v}^{2}}{{a}_{1}}$，
相對(duì)滑動(dòng)路程為：△S₁=S_滑1-S_工件1=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{v}^{2}}{16}$；
從工件共速后到B端階段，因?yàn)棣?0.25＜tan37°=0.75，故工件繼續(xù)加速，
對(duì)工件：mgsin37°-μmgcos37°=ma₂，得a₂=4m/s²，
S_工件2=L-S_工件1=L-$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=vt₂+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$，
得a₂=4m/s²，
S_工件2=L-S_工件1=L-$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=vt₂+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$，
得t₂=$\frac{\sqrt{0.5{v}^{2}+32}-v}{4}$，
對(duì)傳送帶：S_帶2=vt₂
對(duì)傳送帶：S_帶2=vt₂，相對(duì)滑動(dòng)路程為：△S₂=S_工件2-S_帶2=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$，
故全程相對(duì)滑動(dòng)路程為：
△S=△S₁+△S₂=$\frac{{v}^{2}}{2a}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$=L-vt₂=4-$\frac{\sqrt{0.5{v}^{2}+32}-v}{4}$；
由題目所給函數(shù)得：當(dāng)v=$4\sqrt{2（\sqrt{2}-1）}m/s$，
△S_最短=$4（\sqrt{2}-1）m$．
答：（1）小工件剛放上傳送帶時(shí)的加速度大小為8m/s²；
（2）若要讓每個(gè)小工件都能最快地從A運(yùn)到B，傳送帶速率應(yīng)滿足的條件是不小于8m/s，并求出該最短時(shí)間為1s；
（3）若要降低工廠耗能成本，要求每個(gè)小工件相對(duì)傳送帶滑動(dòng)的路程都最短，傳送帶速率應(yīng)為$4\sqrt{2（\sqrt{2}-1）}m/s$，每一個(gè)小工件相對(duì)傳送帶的最短路程為$4（\sqrt{2}-1）m$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于牛頓第二定律的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是弄清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程和受力情況，利用牛頓第二定律或運(yùn)動(dòng)學(xué)的計(jì)算公式求解加速度，再根據(jù)題目要求進(jìn)行解答；知道加速度是聯(lián)系靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁．