Question

15．如圖甲所示，兩組平行正對(duì)金屬板A、B和C、D，C、D的左端緊靠B板，A與C、B與D分別連接后，接上如圖乙所示規(guī)律變化的電壓，忽略極板正對(duì)部分之外的電場(chǎng)．位于A板中心P處的粒子源可以產(chǎn)生比荷（$\frac{q}{m}$）為k的帶正電粒子，粒子的重力和初速度均可忽略不計(jì)．已知t=0時(shí)刻產(chǎn)生的粒子，恰好在t=2T₀時(shí)刻從B板中心的小孔Q處穿過(guò)，并在t=3T₀時(shí)刻緊貼D板的右邊緣離開(kāi)，求：
（1）A、B板間的距離d₁；
（2）粒子從D板邊緣射出時(shí)速度方向與PQ延長(zhǎng)線夾角的正切值；
（3）t=$\frac{{T}_{0}}{2}$時(shí)刻產(chǎn)生的粒子，從C、D板右側(cè)射出時(shí)偏離PQ延長(zhǎng)線的距離．

Answer 1

分析 （1）由運(yùn)動(dòng)情況結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得距離．
（2）因做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，求出兩方向的速度確定出偏角的正切值．
（3）先分段求解再求總偏離距離．

解答 解：（1）在 0-T₁時(shí)間內(nèi)，A、B間為勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)A、B板間的距離為d₁，
則 ${a}_{1}=K\frac{{U}_{0}}{rt2bm2s_{1}}$　　${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{T}_{0}^{2}$
在T₀-2T₀時(shí)間內(nèi)粒子做勻速運(yùn)動(dòng)x₂=a₁T₀•T₀
而x₁+x₂=d₁整理得：$aaxekh3_{1}=\sqrt{\frac{3K{U}_{0}}{2}}{T}_{0}$
（2）粒子在CD板間運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿平行于極板方向做勻速運(yùn)動(dòng)
v_x=a₁T₀
沿垂直于極板方向做勻加速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)CD板間的距離為d₂，
${a}_{2}=K\frac{{U}_{0}}{3by2ows_{2}}$
$\frac{odufxzv_{2}}{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{T}_{0}^{2}$
v_y=a₂T₀
則tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$
（3）設(shè)粒子在2T₀+t時(shí)刻到達(dá)Q，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式
   $\frac{1}{2}{a}_{1}（\frac{{T}_{0}}{2}）^{2}+{a}_{1}（\frac{{T}_{0}}{2}）{T}_{0}+{a}_{1}\frac{{T}_{0}}{2}t+\frac{1}{2}{a}_{1}$t²=d₁
整理得t=$\frac{\sqrt{8}-1}{2}{T}_{0}$，因t＜T₀，所以粒子在2T₀-3T₀之間的某時(shí)刻經(jīng)過(guò)Q，此時(shí)粒子的 速度大小
v=${a}_{1}（\frac{{T}_{0}}{2}+t）-\sqrt{2}{a}_{1}{T}_{0}$
設(shè)CD板長(zhǎng)為L(zhǎng)，由（2）知L=v₀T₀
所以粒子通過(guò)CD板間的時(shí)間為$△t=\frac{L}{v}$
整理得$△t=\frac{\sqrt{2}}{2}{T}_{0}$由于T₀-t＜△t＜T₀所以粒子在CD間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，沿垂直極板方向先以加速度a₂勻加速運(yùn)動(dòng) （T₀-t）時(shí)間，再以速度a₂（T₀-t）時(shí)間，故從CD右側(cè)飛出時(shí)偏離PQ延長(zhǎng)線的距離為$y=\frac{1}{2}{a}_{2}（{T}_{0}-t）^{2}+{a}_{2}（{T}_{0}-t）_{\;}$（△t-（T₀-t））
整理得：y=$\frac{18\sqrt{2}-25}{8}\sqrt{K{U}_{0}}{T}_{0}$
答：（1）A、B板間的距離為$\sqrt{\frac{3K{U}_{0}}{2}}{T}_{0}$
（2）粒子從D板邊緣射出時(shí)速度方向與PQ延長(zhǎng)線夾角的正切值為$\sqrt{\frac{3}{2}}$；
（3）t=$\frac{{T}_{0}}{2}$時(shí)刻產(chǎn)生的粒子，從C、D板右側(cè)射出時(shí)偏離PQ延長(zhǎng)線的距離為$\frac{18\sqrt{2}-25}{8}\sqrt{K{U}_{0}}{T}_{0}$

點(diǎn)評(píng) 本題帶電粒子在周期性電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法進(jìn)行研究．