Question

3．如圖所示，兩平行豎直線MN、PQ間距離為a，其間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（含邊界PQ），磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在MN上O點(diǎn)處有一粒子源，能射出質(zhì)量為m，電量為q的帶負(fù)電粒子，當(dāng)速度方向與OM夾角θ=60°時(shí)，粒子恰好垂直PQ方向射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子間的相互作用及重力．則（　�。�

• A． 粒子的速率為$\frac{qBa}{m}$
• B． 粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{πm}{3qB}$
• C． 若只改變粒子速度方向，使θ角能在0°至180°間不斷變化，則PQ邊界上有粒子射出的區(qū)間長(zhǎng)度為2$\sqrt{3}$a
• D． 若只改變粒子速度方向，使θ角能在0°至180°間不斷變化，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為$\frac{3πm}{qB}$

Answer 1

分析 由幾何關(guān)系求得半徑及中心角，進(jìn)而根據(jù)牛頓第二定律求得速率及周期，從而得到運(yùn)動(dòng)時(shí)間；根據(jù)θ的變化，得到運(yùn)動(dòng)軌跡的變化，進(jìn)而得到出射點(diǎn)的范圍，從而得到弦長(zhǎng)的變化，求得最大弦長(zhǎng)，即可得到最大中心角，從而得到運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間．

解答 解：A、當(dāng)速度方向與OM夾角θ=60°時(shí)，粒子恰好垂直PQ方向射出磁場(chǎng)，則粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在PQ上，如圖所示，

所以，Rcosθ=a，則R=2a；
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力即$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$v=\frac{BqR}{m}=\frac{2Bqa}{m}$；故A錯(cuò)誤；
B、粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{Bq}$，又有粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的中心角為90°-θ=30°，所以，運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t=\frac{30°}{360°}T=\frac{πm}{6Bq}$，故B錯(cuò)誤；
C、當(dāng)θ=0時(shí)，
粒子在PQ邊界上O′點(diǎn)上方$\sqrt{3}a$處射出；當(dāng)θ增大時(shí)，出射點(diǎn)下移，直到粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與PQ相切；當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與PQ相切時(shí)，相切點(diǎn)位于O′點(diǎn)下方$\sqrt{3}a$處；繼續(xù)增大θ，粒子將從MN邊界射出；故若只改變粒子速度方向，使θ角能在0°至180°間不斷變化，則PQ邊界上有粒子射出的區(qū)間長(zhǎng)度為2$\sqrt{3}$a，故C正確；
D、當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與PQ相切時(shí)，粒子在MN的出射點(diǎn)位于O點(diǎn)下方$2\sqrt{3}a$；若θ繼續(xù)增大，則出射點(diǎn)沿MN邊界上移，知道O點(diǎn)，故粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的最大弦長(zhǎng)為$2\sqrt{3}a$，所以，對(duì)應(yīng)的最大中心角為120°，那么，若只改變粒子速度方向，使θ角能在0°至180°間不斷變化，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為$\frac{1}{3}T$=$\frac{2πm}{3qB}$，故D錯(cuò)誤；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，一般根據(jù)幾何關(guān)系求得半徑，再利用牛頓第二定律求得速度、周期等相關(guān)問題．