Question

（20分）如題圖所示，在半徑為a的圓柱空間中（圖中圓為其橫截面）充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的均勻磁場(chǎng)，其方向平行于軸線遠(yuǎn)離讀者．在圓柱空間中垂直軸線平面內(nèi)固定放置一絕緣材料制成的邊長(zhǎng)為L=1．6a的剛性等邊三角形框架ΔDEF，其中心O位于圓柱的軸線上．DE邊上S點(diǎn)（）處有一發(fā)射帶電粒子的源，發(fā)射粒子的方向皆在圖題圖中截面內(nèi)且垂直于DE邊向下。發(fā)射粒子的電量皆為q（＞0），質(zhì)量皆為m，但速度v有各種不同的數(shù)值。若這些粒子與三角形框架的碰撞無(wú)能量損失，電量也無(wú)變化，且每一次碰撞時(shí)速度方向均垂直于被碰的邊。試問(wèn)：

（1）帶電粒子經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間第一次與DE邊相碰？
（2）帶電粒子速度v的大小取哪些數(shù)值時(shí)可使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)？
（3）這些粒子中，回到S點(diǎn)所用的最短時(shí)間是多少？

Answer 1

（1） 
（2）            
（3）                                

解：

（1）帶電粒子（以下簡(jiǎn)稱粒子）從S點(diǎn)垂直于DE邊以速度v射出后，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
 （1分） 得        ①（1分）
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：  （1分）
將①式代入，得：                ②（1分）
粒子第一次與DE邊相碰：        （2分）
（2）帶電粒子（以下簡(jiǎn)稱粒子）從S點(diǎn)垂直于DE邊以速度v射出后，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心一定位于DE邊上，粒子每次與ΔDEF的三條邊碰撞時(shí)都與邊垂直，且能回到S點(diǎn)，如題解圖所示，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓的圓心一定位于Δ的邊上，粒子繞過(guò)Δ頂點(diǎn)D、E、F時(shí)的圓弧的圓心就一定要在相鄰邊的交點(diǎn)（即D、E、F）上。、的長(zhǎng)度應(yīng)是R_n的奇數(shù)倍即：
 (＝1，2，3，…)                  ③（2分）
此時(shí)為R_n的奇數(shù)倍的條件自然滿足。
而粒子要能繞過(guò)頂點(diǎn)與Δ的邊相碰，則粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R不能太大，如圖題解圖，
必須有：                   ④（2分）
由圖中的幾何關(guān)系計(jì)算可知：
         ⑤（1分）
將 1，2，3，…，分別代入③式，得
            

           

由于R₁，R₂，≥，這些粒子在繞過(guò)Δ的頂點(diǎn)E時(shí)，將從磁場(chǎng)邊界逸出，只有n≥4的粒子能經(jīng)多次碰撞繞過(guò)E、F、D點(diǎn)，最終回到S點(diǎn)．由此結(jié)論及①、③兩式可得與之相應(yīng)的速度：
                      ⑥（4分）
（3）由②可知，在B及q/m給定時(shí)T與v無(wú)關(guān)。粒子從S點(diǎn)出發(fā)最后回到S點(diǎn)的過(guò)程中，與Δ的邊碰撞次數(shù)愈少，所經(jīng)歷的時(shí)間就愈少，所以應(yīng)取n=4，如題解圖所示（圖中只畫(huà)出在邊框DE的碰撞情況），此時(shí)粒子的速度為v₄，由圖可看出該粒子的軌跡包括3×13個(gè)半圓和3個(gè)圓心角為300°的圓弧，所需時(shí)間為：  ⑦（3分）
以②式代入得：                                           ⑧（2分）