Question

14．回旋加速器的工作原理如圖1所示．置于真空中的D形金屬盒半徑為R．兩盒間狹縫的間距為d．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與盒面垂直．被加速粒子的質(zhì)量為m，電荷量為+q．在狹縫間的交變電壓如圖2所示．電壓值的大小為U₀．周期T=$\frac{2πm}{qB}$．一束該種粒子在t=0-$\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)從A處均勻地飄入狹縫．其初速度視為零．現(xiàn)考慮粒子在狹縫中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．假設(shè)能夠出射的粒子每次經(jīng)過(guò)狹縫均做加速運(yùn)動(dòng)．不考慮粒子間的相互作用．
求：（1）出射粒子的動(dòng)能E_m：
（2）粒子從飄人狹縫至動(dòng)能達(dá)到E_m所需的總時(shí)間t₀；
（3）要使飄入狹縫的粒子中有超過(guò)99%能射出，d應(yīng)滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，依據(jù)洛倫茲力提供向心力，結(jié)合動(dòng)能的表達(dá)式，即可求解；
（2）根據(jù)一次加速獲得的動(dòng)能，結(jié)合總動(dòng)能，從而確定加速的次數(shù)，再依據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，求得在電場(chǎng)中加速的時(shí)間，最后根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中的周期公式，即可求解；
（3）根據(jù)只有在0到（$\frac{T}{2}$-△t）時(shí)間內(nèi)，飄入的粒子才能每次均被加速，結(jié)合有超過(guò)99%能射出，從而即可求解．

解答 解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)半徑為R時(shí)，依據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合洛倫茲力提供向心力，
則有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
且E_m=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：E_m=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$；
（2）粒子被加速n次到達(dá)動(dòng)能為E_m，則E_m=nqU₀，
粒子在狹縫間做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)n次經(jīng)過(guò)狹縫的總時(shí)間為△t；
而加速度a=$\frac{q{U}_{0}}{md}$
因勻加速直線運(yùn)動(dòng)，依據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，則有：nd=$\frac{1}{2}a△{t}^{2}$
由t₀=（n-1）$\frac{T}{2}$+△t，
解得：t₀=$\frac{πB{R}^{2}+2BRd}{2{U}_{0}}-\frac{πm}{qB}$
（3）只有在0到（$\frac{T}{2}$-△t）時(shí)間內(nèi)，飄入的粒子才能每次均被加速，
則所占的比例為η=$\frac{\frac{T}{2}-△t}{\frac{T}{2}}$；
由η＞99%，解得：d＜$\frac{πm{U}_{0}}{100q{B}^{2}R}$
答：（1）出射粒子的動(dòng)能$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$；
（2）粒子從飄入狹縫至動(dòng)能達(dá)到E_m所需的總時(shí)間$\frac{πB{R}^{2}+2BRd}{2{U}_{0}}-\frac{πm}{qB}$；
（3）要使飄入狹縫的粒子中有超過(guò)99%能射出，d應(yīng)滿(mǎn)足的條件：d＜$\frac{πm{U}_{0}}{100q{B}^{2}R}$

點(diǎn)評(píng) 考查牛頓第二定律與向心力的表達(dá)式的內(nèi)容，掌握依據(jù)一次加速獲得的動(dòng)能，從而求得加速的次數(shù)是解題的突破口，理解只有在0到（$\frac{T}{2}$-△t）時(shí)間內(nèi)，飄入的粒子才能每次均被加速，注意粒子在電場(chǎng)一直處于勻加速的原因是粒子在磁場(chǎng)中速度大小不變，最后掌握粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期公式．