Question

我國(guó)發(fā)射的“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星，實(shí)現(xiàn)了國(guó)人百年奔月的夢(mèng)想．
（1）如圖1是某同學(xué)對(duì)“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星繞月運(yùn)行的可能軌道的猜想，其中不可能實(shí)現(xiàn)的是哪個(gè)圖對(duì)應(yīng)的軌道，你的理由是什么？

（2）如果宇航員在月球表面上，測(cè)出小物塊自由下落h高度所用的時(shí)間為t；測(cè)出繞月衛(wèi)星在靠近月球表面圓軌道上飛行時(shí)的周期是T，已知萬(wàn)有引力常量為G．請(qǐng)你用上述各量推導(dǎo)出月球質(zhì)量的表達(dá)式．
（3）某學(xué)校物理興趣小組研究“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星的發(fā)射和運(yùn)行情況時(shí)猜想：衛(wèi)星要把拍攝到的各種圖片信息，持續(xù)不斷地用微波發(fā)回地面時(shí)，由于月球的遮擋，在地球上總有一段時(shí)間接收不到衛(wèi)星發(fā)來(lái)的微波信號(hào)．為了驗(yàn)證自己的猜想，他們?cè)O(shè)計(jì)了如圖2所示的電腦模擬實(shí)驗(yàn)：固定地球和月球模型，讓衛(wèi)星繞月旋轉(zhuǎn)，在地球上安裝微波接收器，證實(shí)了他們的猜想是正確的．
在實(shí)驗(yàn)中他們?cè)O(shè)計(jì)和測(cè)量的各類(lèi)數(shù)據(jù)是：地球、月球和衛(wèi)星的質(zhì)量分別為m_地、m_月和m_衛(wèi)，衛(wèi)星繞月球運(yùn)行的周期為T(mén)，軌道半徑為r_衛(wèi)=2r，地球和月球的半徑分別為r_地=3r和r_月=r，地球與月球之間的質(zhì)心距離為L(zhǎng)=180r．請(qǐng)你求出：在這個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)中，衛(wèi)星繞月球運(yùn)行一個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，地球不能接收到衛(wèi)星發(fā)射的微波信號(hào)的時(shí)間（萬(wàn)有引力恒量為G，cos89°=

1

90

）．

Answer 1

分析：1、“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星的向心力靠月球與衛(wèi)星間的萬(wàn)有引力提供，衛(wèi)星的軌道圓心一定與月球的球心重合．
2、設(shè)月球表面的重力加速度為g，物塊自由下落時(shí)有h=

1

2

gt2，月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力mg=G

Mm

R2

，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星的向心力靠月球與衛(wèi)星間的萬(wàn)有引力提供G

Mm

R2

=m(

2π

T

)2R，三式聯(lián)立方程組，消去g和R，即可解得月球的質(zhì)量M．
3、根據(jù)題意畫(huà)出地球和月球的平面示意圖，作出地月球面的公切線(xiàn)，找出衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)出的信號(hào)被遮擋所在的圓弧．根據(jù)萬(wàn)有引力定律求出探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期．由幾何關(guān)系求出發(fā)出的信號(hào)被遮擋所在的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角，再結(jié)合周期求出信號(hào)被遮擋的時(shí)間．

解答：解：（1）其中不可能實(shí)現(xiàn)的是D軌道．
  因?yàn)椤版隙鹨惶?hào)”探月衛(wèi)星的向心力靠月球與衛(wèi)星間的萬(wàn)有引力提供，衛(wèi)星的軌道圓心一定與月球的球心重合．  
（2）設(shè)月球表面的重力加速度為g，物塊自由下落時(shí)有h=

1

2

gt2
衛(wèi)星在月球的表面繞行時(shí)有
重力等于萬(wàn)有引力mg=G

Mm

R2

萬(wàn)有引力提供向心力G

Mm

R2

=m(

2π

T

)2R
三式聯(lián)立解得月球的質(zhì)量 M=

h3T4

2Gπ4t6

（3）根據(jù)題意作出運(yùn)動(dòng)模型圖，如下圖所示


設(shè)地球不能接收到衛(wèi)星發(fā)射的微波信號(hào)的時(shí)間t，由圖可知

t

T

=

α-β

180°

其中α=∠CO'A
β=∠CO'B
在△DFC中有  Lcosα=r_地-r_月
在△BO'C中有 r_衛(wèi)cosβ=r_月                                              
把L=180r、r_地=3r、r_衛(wèi)=2r代入上面兩式聯(lián)立解得
cosα=

1

90

，所以α=89°
cosβ=

1

2

 ，所以β=60°
把角α和β的值代入

t

T

=

α-β

180°

解得  t=

29

180

T
答：（1）其中不可能實(shí)現(xiàn)的是D軌道．  因?yàn)椤版隙鹨惶?hào)”探月衛(wèi)星的向心力靠月球與衛(wèi)星間的萬(wàn)有引力提供，衛(wèi)星的軌道圓心一定與月球的球心重合．
（2）月球質(zhì)量的表達(dá)式為M=

h3T4

2Gπ4t6

．
（3）在這個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)中，衛(wèi)星繞月球運(yùn)行一個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，地球不能接收到衛(wèi)星發(fā)射的微波信號(hào)的時(shí)間為

29

180

T．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是要能夠根據(jù)題意作出物理情景圖象，找出所要求解的運(yùn)動(dòng)區(qū)域．?dāng)?shù)學(xué)幾何關(guān)系的應(yīng)用也是解決本題的關(guān)鍵．