Question

14．如圖所示，光滑絕緣斜面的坡度為30°，其下端與半徑為R的光滑絕緣半圓軌道平滑連接．現(xiàn)在使一帶正電且質量為m的小球從斜面上的A點由靜止釋放，進入圓軌道后沿圓軌道運動．已知空間存在豎直向上的勻強電場，它對小球的電場力為其重力的一半．試求：
（1）若小球能到達圓軌道的最高點，則釋放點離地面的高度至少為多少？
（2）若小球釋放點離地高度為4R，則此后小球對軌道的最大壓力為多少？
（3）若小球從圓軌最高點飛出后恰能垂直地打在斜面上，則釋放點離地面的高度應為多少？

Answer 1

分析 （1）小球剛好能到達圓軌道的最高點時，由重力和電場力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求得小球通過最高點的速度，再由動能定理即可求得釋放點離地面的高度；
（2）小球能到達圓軌道的最低點時速度最大，小球對軌道的壓力最大，由動能定理和牛頓第二定律結合解答．
（3）小球從圓軌最高點飛出后做類平拋運動，根據(jù)垂直地打在斜面上時速度方向，由運動的分解法求出小球通過圓軌最高點的速度，再由動能定理求釋放點離地面的高度．

解答 解：（1）若小球能到達圓軌道的最高點，其速度v滿足：
mg-qE=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
又 qE=$\frac{1}{2}$mg
得：v=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
從釋放到過圓軌道最高點的過程，由動能定理得：
（mg-qE）（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
解得：h=2.5R
（2）小球能到達圓軌道的最低點時速度最大，小球對軌道的壓力最大．從釋放到最低點的過程，由動能定理得：
（mg-qE）H=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
在最低點，由牛頓第二定律得：
N-mg+qE=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：N=$\frac{9}{2}$mg
由牛頓第三定律得小球對軌道的最大壓力為：N′=N=$\frac{9}{2}$mg
（3）設小球從圓軌最高點飛出后恰能垂直地打在斜面上時，通過圓軌道最高點的速度大小為v₂．類平拋運動的時間為t，加速度為a．斜面的傾角為α．
根據(jù)牛頓第二定律得 mg-qE=ma，得：a=$\frac{1}{2}g$
由題意知，小球垂直地打在斜面上時速度與豎直方向的夾角為：θ=α=30°
則有  tanθ=$\frac{{v}_{2}}{at}$
水平方向有 x=v₂t
豎直方向有 h′=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由幾何關系可得：tanα=$\frac{2R-h′}{x}$
聯(lián)立解得 v₂=$\sqrt{\frac{2}{5}gR}$
從釋放到過圓軌道最高點的過程，由動能定理得：
（mg-qE）（H-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-0
解得 H=2.4R
答：（1）若小球能到達圓軌道的最高點，則釋放點離地面的高度至少為2.5R．
（2）若小球釋放點離地高度為4R，則此后小球對軌道的最大壓力為$\frac{9}{2}$mg．
（3）若小球從圓軌最高點飛出后恰能垂直地打在斜面上，則釋放點離地面的高度應為2.4R．

點評 本題是向心力、類平拋運動與動能定理等知識的綜合，關鍵要抓住物塊恰能通過最高點的臨界條件，運用運動的分解法研究類平拋運動．