Question

10．將比荷不同的離子分開，是原子核物理研究中的一項(xiàng)重要技術(shù)．一種方法是利用如圖1所示的裝置，在邊界AC上方存在有區(qū)域足夠大的方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，邊界AC上有一狹縫．離子源放射出初速度可以忽略的正離子，離子進(jìn)入電場(chǎng)并經(jīng)電場(chǎng)加速后，穿過(guò)狹縫沿垂直于邊界AC且垂直于磁場(chǎng)的方向射入磁場(chǎng)，最后打在置有離子接收器的區(qū)域CD上被收集．已知區(qū)域CD的右邊界距狹縫的距離為L(zhǎng)，左邊界距狹縫足夠遠(yuǎn)，整個(gè)裝置內(nèi)部為真空，不計(jì)離子重力，也不考慮離子間的相互作用．
（1）已知被加速的正離子質(zhì)量為m，電荷量為q，加速電場(chǎng)的電勢(shì)差為U，測(cè)得離子接收器單位時(shí)間內(nèi)接收到的能量為E，則此離子源單位時(shí)間內(nèi)放射的離子數(shù)為多少？
（2）若被加速的正離子有兩種，質(zhì)量分別是m₁和m₂（m₁＞m₂），電荷量均為q，忽略狹縫寬度的影響，要使這兩種離子都被收集，則加速電壓U應(yīng)滿足什么條件？
（3）在前面的討論中忽略了狹縫寬度的影響，實(shí)際裝置中狹縫有一定寬度d，且離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)并不都垂直于AC邊，而是被狹縫限制在2φ的小角度內(nèi)，如圖2，為保證質(zhì)量分別是m₁和m₂（m₁＞m₂），電荷量均為q的兩種正離子，全部被離子接收器在分辨率范圍內(nèi)分開（兩種離子至少相距△s才能被區(qū)分開），則加速電壓U應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）每個(gè)離子加速獲得能量為qU，根據(jù)能量守恒定律列式分析即可；
（2）離子在電場(chǎng)中加速，根據(jù)動(dòng)能定理列式分析；在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律列式并結(jié)合幾何關(guān)系分析；
（3）根據(jù)第二問(wèn)中軌道半徑與質(zhì)量關(guān)系得到質(zhì)量越大，軌道半徑越大；畫出臨界軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系和牛頓第二定律，列式得到AC邊上離子的寬度表達(dá)式進(jìn)行分析．

解答 解：（1）設(shè)離子源單位時(shí)間內(nèi)放射的離子數(shù)為n，根據(jù)功能關(guān)系，有：E=n•$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=nqU，
即得離子源單位時(shí)間內(nèi)放射的離子數(shù)為n=$\frac{E}{qU}$；
（2）正離子在電場(chǎng)中加速過(guò)程，有：
qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
正離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
故r=$\frac{mv}{qB}=\sqrt{\frac{2mU}{q{B}^{2}}}$，
只要質(zhì)量為m₂離子能到達(dá)接收器的區(qū)域，所有的離子都能被收集，則加速電壓U至少應(yīng)滿足：
2r₂=L，
可解得：U=$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}_{2}}$，
故加速電壓U應(yīng)該滿足U≥$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}_{2}}$；
（3）由r=$\frac{mv}{qB}=\sqrt{\frac{2mU}{q{B}^{2}}}$知，r與m的平方根成正比；
m₁打到最近的是從狹縫右端以φ角入射，到狹縫左端的距離為2r₁cosφ-d，
m₂打到最遠(yuǎn)的是從狹縫左端垂直入射，到狹縫左端的距離為2r₂，如圖：

要將兩種離子區(qū)分開，加速電壓U至少應(yīng)滿足：
（2r₁cosφ-α）-2r₂=△s，
U=$\frac{q{B}^{2}（△s+α）^{2}}{8（\sqrt{{m}_{1}}cosφ-\sqrt{{m}_{2}}）^{2}}$，
同理，要使離子能到達(dá)接收器的區(qū)域，則加速電壓U至少應(yīng)該滿足：
2r₂cosφ=L+d，
可解得：U=$\frac{q{B}^{2}（L+d）^{2}}{8{m}_{2}cosφ}$，
故加速電壓U應(yīng)該滿足：
U≥$\frac{q{B}^{2}{（△s+α）}^{2}}{8{（\sqrt{{m}_{1}}cosφ-\sqrt{{m}_{2}}）}^{2}}$，且U≥$\frac{q{B}^{2}{（L+d）}^{2}}{8{m}_{2}cosφ}$；
答：（1）此離子源單位時(shí)間內(nèi)放射的離子數(shù)為$\frac{E}{qU}$；
（2）要使這兩種離子都被收集，則加速電壓U應(yīng)滿足U≥$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}_{2}}$；
（3）加速電壓U應(yīng)滿足U≥$\frac{q{B}^{2}{（△s+α）}^{2}}{8{（\sqrt{{m}_{1}}cosφ-\sqrt{{m}_{2}}）}^{2}}$，且U≥$\frac{q{B}^{2}{（L+d）}^{2}}{8{m}_{2}cosφ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，關(guān)鍵是明確離子在電場(chǎng)中是直線加速，在磁場(chǎng)中是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出臨界軌跡，結(jié)合動(dòng)能定理和牛頓第二定律列式分析．